Nieskończenie małe

Nieskończenie małe (infinitezymalne) – pojęcie analizy matematycznej o co najmniej dwóch znaczeniach:

• historycznie: funkcje dążące do zera w danym punkcie;
• w analizie niestandardowej: podzbiór ciała uporządkowanego ${\mathfrak {F}}:=(\mathbb {F} ,+,\cdot ,0,1,<)$ zdefiniowany jako zbiór tych elementów ciała, które są na moduł mniejsze od dowolnej liczby postaci $1/n$ (gdzie $n$ rozumie się jako $n$-krotną sumę jedności $1$ ciała $\mathbb {F}$), czyli zbiór:

$\Omega :=\{x\in \mathbb {F} \colon \forall _{n\in \mathbb {N} }\ |x|<1/n\}.$

Ta druga definicja jest poprawna, ponieważ:

• w każdym ciele uporządkowanym porządek jest liniowy,
• istnieją liczby „naturalne” (jako skończone sumy multiplikatywnego elementu neutralnego),
• da się zdefiniować funkcję moduł jako:

$|x|:={\begin{cases}x&{\mbox{dla }}x\geqslant 0,\\-x&{\mbox{dla }}x<0,\end{cases}}$

gdzie $-x$ oznacza element przeciwny do $x$ względem działania addytywnego.

Ciało liczb rzeczywistych

W ciele liczb rzeczywistych ${\mathfrak {R}}:=(\mathbb {R} ,+,\cdot ,0,1,<)$ jedyną liczbą nieskończenie małą jest liczba $0,$ czyli $\Omega =\{0\}.$

Ciało liczb hiperrzeczywistych

W ciele liczb hiperrzeczywistych ${\mathfrak {R}}^{*}:=(\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )$ zbiór liczb nieskończenie małych to

$\Omega =\{x\in \mathbb {R} ^{*}\colon \forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\ |x|\prec r^{*}\}$ i liczb tych jest nieskończenie wiele.

Do zbioru $\Omega$ należy np. liczba $[(1/n)_{n=1}^{\infty }]$.

Struktura $(\Omega ,\oplus ,0^{*})$ jest grupą, a $(\Omega ,\oplus ,\odot ,0^{*})$ jest pierścieniem oraz grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych.

W zbiorze $\Omega$ nie ma liczby ani największej, ani najmniejszej.

Liczby odwrotne względem działania $\odot$ do niezerowej liczby nieskończenie małej są liczbami nieskończenie dużymi.

Zobacz też

• różniczka