Model Hubbarda

Model Hubbarda – model w fizyce materii skondensowanej opisujący gaz elektronowy z oddziaływaniem w reprezentacji ciasnego wiązania. Hamiltonian modelu Hubbarda zawiera dwie części:

• wyraz kinetyczny – opisującą przeskoki elektronów z początkowego węzła sieci (w ogólności) do dowolnego innego (jednak dla uproszczenia obliczeń zakłada się przeskoki do sąsiednich węzłów),
• wyraz oddziaływania typu kulombowskiego – krótkozasięgowego ze względu na spin (w jednym węźle) – zakłada się występowania oddziaływanie elektron-elektron z charakterystyczną stałą oddziaływania oznaczaną jako U (w ogólności z dowolną wartością U: U<0 przyciąganie, U>0 odpychanie, U=0 brak oddziaływania, czyli zwykły gaz fermionów).

Takie połączenie, mimo swojej prostoty, pozwala na zilustrowanie wielu zjawisk z dziedziny silnie skorelowanych fermionów, a w szczególności: przejście metal-izolator, ferromagnetyzm, antyferromagnetyzm, ciecz Luttingera czy nadprzewodnictwo. „Rozwiązywalność” modelu często jest wynikiem dodatkowych założeń, które jednak nie wpływają zbytnio na prawidłowość rozważań.

Model Hubbarda jest intensywnie eksploatowany w teorii silnie skorelowanych fermionów dla różnych parametrów oraz wymiarów. Istnieją liczne rozszerzenia modelu Hubbarda, polegające na uwzględnianiu dodatkowych wyrazów w hamiltonianie modelu (jak np. w modelu Pensona-Kolba-Hubbarda, który uwzględnia również przeskoki par elektronowych).

Hamiltonian Hubbarda

Zgodnie z powyższym najogólniejszy hamiltonian modelu (w przestrzeni położeń) zapisać możemy jako:

${\hat {H}}=\sum _{ij\sigma }-t_{ij}{\hat {c}}_{j\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i\sigma }+\sum _{i}U{\hat {n}}_{i\uparrow }{\hat {n}}_{i\downarrow }$

gdzie $t_{ij}$ jest całką przeskoku, $c_{i\sigma }$ $(c_{i\sigma }^{\dagger })$ oznacza operator anihilacji (kreacji) elektronu w węźle i ze spinem $\sigma ,$ natomiast U opisuje oddziaływanie pomiędzy elektronami.

Interpretacja odpowiednich wyrazów w hamiltonianie:

• wyraz 1 : wyraz kinetyczny – elektron ze spinem $\sigma$ jest anihilowany w węźle i-tym i kreowanym w węźle j-tym (bez zmiany spinu)
• wyraz 2 : wyraz oddziaływania – elektrony w danym i-tym węźle ze spinem $\uparrow$ oddziałują z elektronami ze spinem $\downarrow$ w tym samym węźle.

Przykład W przypadku przeskoku elektronów jedynie do sąsiednich węzłów i założeniu izotropowości układu (stała całka przeskoku) otrzymujemy hamiltonian postaci:

${\hat {H}}=-t\sum _{<ij>\sigma }{\hat {c}}_{j\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i\sigma }+\sum _{i}U{\hat {n}}_{i\uparrow }{\hat {n}}_{i\downarrow }$

gdzie sumowanie po $<ij>$ oznacza sumowanie po sąsiednich węzłach sieci. W przestrzeni pędów hamiltonian przyjmuje postać:

${\hat {H}}=\sum _{k\sigma }E_{k}{\hat {n}}_{k\sigma }+{\frac {U}{N}}\sum _{klq}{\hat {c}}_{k+q\uparrow }^{\dagger }{\hat {c}}_{k\uparrow }{\hat {c}}_{l-q\downarrow }^{\dagger }{\hat {c}}_{l\downarrow }$

gdzie N jest liczba węzłów sieci, natomiast $E_{k}$ jest energią kinetyczną (relacją dyspersyjną) z pędem k, daną jako:

$E_{k}=-t\sum _{\delta }\exp(ik\cdot \delta )$

gdzie $\delta$ jest odległością między sąsiednimi węzłami sieci. Dla przykładu w sieci kwadratowej relacja ta ma postać:

$E_{k}=-t\left(\cos(ak_{x})+\cos(ak_{y})\right)$

gdzie a jest stałą sieciową natomiast $k_{x}$ i $k_{y}$ są składowymi pędu w kierunkach x i y.