Kryterium Leibniza

Kryterium Leibniza – kryterium zbieżności szeregów naprzemiennych mówiące, że szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów jest nierosnący i zbieżny do $0,$ jest zbieżny.

Kryterium

Jeżeli ciąg liczbowy $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ o wyrazach nieujemnych spełnia następujące warunki:

1. $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0,$
2. ciąg $a_{n}$ jest nierosnący,

to szereg

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$

jest zbieżny.

Dowód

Zgodnie z założeniem

$a_{0}\geqslant a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant a_{3}\geqslant \ldots \geqslant 0.$

Niech

$S_{m}=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}a_{n}$

oznacza $m$-tą sumę częściową rozważanego szeregu.

Podciąg ciągu sum częściowych postaci

$\left(S_{2N-1}\right)_{N=1}^{\infty }$

jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem zbieżny. Istotnie,

$S_{2N+1}-S_{2N-1}=a_{2N}-a_{2N+1}\geqslant 0$

(ciąg ten jest nierosnący) oraz

$S_{2N+1}\ =a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots +a_{2N}-a_{2N+1}\leqslant a_{0}-a_{2}+a_{2}-a_{4}+\ldots +a_{2N}-a_{2N+2}=a_{0}-a_{2N+2}\leqslant a_{0}$

(ciąg ten jest ograniczony). Niech

$s=\lim _{N\to \infty }S_{2N+1}.$

Aby zakończyć dowód, trzeba pokazać, że

$s=\lim _{N\to \infty }S_{2N}.$

Rzeczywiście,

$\lim _{N\to \infty }S_{2N}=\lim _{N\to \infty }\left(S_{2N-1}+a_{2N}\right)=\lim _{N\to \infty }S_{2N-1}+\lim _{N\to \infty }a_{2N}=s+0$.

Przykład zastosowania

• Szereg anharmoniczny

$1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots$

jest zbieżny, jako szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów jest malejący i zbieżny do $0$.

• w szeregu Grandiego $1-1+1-1\dots$ ciąg wyrazów $a_{n}=1$ jest nierosnący,

w szeregu $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,(1+{\tfrac {1}{n}})$ ciąg wyrazów $a_{n}=1+{\tfrac {1}{n}}$ jest malejący.

W żadnym z tych szeregów ciąg wyrazów $(a_{n})$ nie jest zbieżny do $0$ i oba szeregi są rozbieżne

• w szeregu $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n},$ gdzie $a_{2n}={\tfrac {1}{n^{2}}},\quad a_{2n-1}={\tfrac {1}{n}}$ ciąg wyrazów $(a_{n})$ jest zbieżny do $0,$ ale nie jest nierosnący i szereg jest rozbieżny.

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967.

Literatura dodatkowa

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: PWN, 1966.

Linki zewnętrzne

• Piotr Stachura, Szeregi naprzemienne – kryterium Leibniza, kanał Khan Academy na YouTube, 20 czerwca 2016 [dostęp 2024-06-23].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Leibniz Criterion, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-02-09].
• Leibniz criterion (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-02-09].