Ideał główny

Ideał główny – ideał (lewo-, prawo- bądź dwustronny) generowany przez podzbiór jednoelementowy pierścienia. Jeżeli $a$ jest elementem pierścienia $R$ z jedynką, to:

• prawostronny ideał główny $aR$ jest równy

$\{a\cdot b$ $\colon b\in R\},$

• lewostronny ideał główny $Ra$ jest równy

$\{b\cdot a$ $\colon b\in R\},$

• dwustronny ideał główny $RaR$ jest równy

$\{b_{1}\cdot a\cdot b'_{1}+\dots +b_{n}\cdot a\cdot b'_{n}\colon b_{i},b'_{i}\in R\}.$

Jeśli $R$ jest pierścieniem przemiennym to powyższe zbiory są równe. W takim przypadku ideał generowany przez element $a$ pierścienia $R$ oznacza się $(a).$ Mówi się, że $R$ jest pierścieniem ideałów głównych wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ideały w $R$ są główne. Dodatkowo, gdy $R$ jest przemienny, nazywa się go dziedziną ideałów głównych.

Własności

• Jeżeli $a$ i $b$ są niezerowymi elementami pierścienia $R,$ to $(a)=(b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a\sim b,$ przy czym $\sim$ oznacza relację stowarzyszenia tj. $a\sim b$ $\Leftrightarrow$ $a$ dzieli $b$ oraz $b$ dzieli $a.$
• Jeżeli $K$ jest ciałem, to każdy ideał pierścienia wielomianów $K[x]$ jest główny.

Przykłady

• Każdy ideał w pierścieniu liczb całkowitych $\mathbb {Z}$ jest ideałem głównym i jest postaci

$(n)=\{n\cdot a\colon a\in \mathbb {Z} \}.$

• Niech dany będzie pierścień macierzy typu 2×2 o elementach z pierścienia liczb całkowitych. Elementem tego pierścienia jest na przykład macierz $\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right].$ Ideał główny lewostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci $\left[{\begin{smallmatrix}0&a\\0&b\end{smallmatrix}}\right],$ gdzie $a$ i $b$ są dowolnymi liczbami całkowitymi, natomiast ideał główny prawostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci $\left[{\begin{smallmatrix}c&d\\0&0\end{smallmatrix}}\right],$ gdzie $c$ i $d$ są dowolnymi liczbami całkowitymi. Wynika stąd, że prawostronne i lewostronne ideały główne generowane przez ten sam element nie muszą być równe.
• Jeśli pierścień jest dziedziną Euklidesa, to jest pierścieniem ideałów głównych.

Bibliografia

• J. Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna. Brak numerów stron w książce
• Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, ISBN 83-01-14388-6.
• Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2.
• AndrzejA. Białynicki-Birula AndrzejA., Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330 . Brak numerów stron w książce