Dylatacja

Dylatacja – przekształcenie geometryczne, przeprowadzające dowolną prostą na prostą do niej równoległą. Inaczej mówiąc, jest to kolineacja, w której każda prosta jest równoległa do swojego obrazu.

Własności

• Dwa dane odcinki $AB$ i $A'B',$ leżące na prostych równoległych, określają dokładnie jedną dylatację $AB\to A'B',$ dla której obrazem punktu $A$ jest punkt $A',$ a obrazem punktu $B$ jest punkt $B'$.
• Odwrotność dylatacji $AB\to A'B'$ jest dylatacją $A'B'\to AB$.
• Dylatacja $AB\to AB$ jest przekształceniem tożsamościowym (czyli identycznością). Dylatacja $AB\to BA$ jest półobrotem, czyli symetrią środkową (dokoła środka odcinka AB). Jeżeli czworokąt $ABB'A'$ jest równoległobokiem, to dylatacja $AB\to A'B'$ jest translacją (czyli przesunięciem równoległym).
• Jeżeli dylatacja ma punkt stały, to obrazem prostej przechodzącej przez ten punkt jest ta sama prosta.
• Każda dylatacja, która nie jest przesunięciem równoległym ma punkt stały, a jeśli nie jest identycznością, to jest to jedyny jej punkt stały.
• Jeżeli punkt $P$ i jego obraz dylatacyjny $P'$ nie pokrywają się (tzn. $P$ nie jest stały), to obrazem prostej $PP'$ jest ona sama.
• Jeżeli dwie proste pokrywają się ze swoimi obrazami, to ich przecięcie (o ile istnieje) jest punktem stałym.

Z własności tych wynika klasyfikacja dylatacji ze względu na liczbę punktów stałych:

• Jeżeli dylatacja ma co najmniej dwa różne punkty stałe, to jest identycznością,
• Jeżeli dylatacja ma dokładnie jeden punkt stały, to jest jednokładnością,
• Jeżeli dylatacja nie ma punktu stałego, to jest translacją.

Zbiór dylatacji jest grupą ze względu na ich składanie i podgrupą grupy podobieństw parzystych.

Niezmiennik definiujący grupę dylatacji:

• kierunek wektora.

Ważniejsze niezmienniki dylatacji:

• orientacja,
• stosunek długości wektorów,
• stosunek pól figur,
• stosunek objętości figur,
• współliniowość punktów.

Zobacz też

• kolineacja
• podobieństwo

Bibliografia

• Marek Kordos, Lesław Włodzimierz Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce
• H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967. Brak numerów stron w książce
• M. Berger: Геометрия (tłum. ros.). Moskwa: Мир, 1984. Brak numerów stron w książce
• A.M. Комиссарук: Аффинная геометрия. Минсκ: Вышэйшая школа, 1977. Brak numerów stron w książce