Ciąg dokładny

Niech $\{G_{i}\}$ będzie ciągiem grup oraz $\varphi _{i}\colon G_{i}\to G_{i+1}$ – ciągiem homomorfizmów:

$\ldots \xrightarrow {\varphi _{n-1}} \,G_{n}\,\xrightarrow {\varphi _{n}} \,G_{n+1}\,\xrightarrow {\varphi _{n+1}} \ldots$

Ten ciąg grup i homomorfizmów nazywamy ciągiem dokładnym, jeśli obraz każdego homomorfizmu jest równy jądru następnego homomorfizmu:

$\mathrm {im} \,\varphi _{n}=\ker \,\varphi _{n+1}$,

gdzie:

$\mathrm {im} \,\varphi _{n}=\{\varphi (g):g\in G_{n}\},$

$\ker \,\varphi _{n+1}=\{g\in G_{n+1}:\varphi (g)=e_{n+2}\},$

$e_{n}$ jest elementem neutralnym grupy $G_{n}.$

Ciągi dokładne określa się także dla innych niż grupy struktur algebraicznych, na przykład dla modułów, jeśli są one grupami ze względu na jedno z działań.

Kategorie abelowe

Ciąg

$\ldots \xrightarrow {\alpha _{n-1}} \,A_{n}\,\xrightarrow {\alpha _{n}} \,A_{n+1}\,\xrightarrow {\alpha _{n+1}} \,A_{n+2}\,\dots$

obiektów kategorii abelowej ${\mathfrak {A}}$ i morfizmów $\alpha _{n},$ takich że

$\mathrm {Ker} \,\alpha _{n+1}=\mathrm {Im} \,\alpha _{n}$

jest nazywany ciągiem dokładnym.

Przykłady

• Niech $\mathrm {1}$ oznacza grupę trywialną (składającą się tylko z elementu neutralnego). Wtedy dokładność ciągu:

$\mathrm {1} \to G{\xrightarrow {\varphi }}H$ oznacza, że $\varphi$ jest monomorfizmem, bo $\ker \,\varphi =1,$ gdzie 1 jest elementem neutralnym grupy $H,$

$G{\xrightarrow {\varphi }}H\to \mathrm {1}$ oznacza, że $\varphi$ jest epimorfizmem, bo $\mathrm {im} \,\varphi =H,$

$\mathrm {1} \to G{\xrightarrow {\varphi }}H\to \mathrm {1}$ oznacza, że $\varphi$ jest izomorfizmem, co wynika z dwóch poprzednich przykładów.

• Niech grupa $G$ zawiera nietrywialną podgrupę normalną $G_{0}.$ Wtedy ciąg dokładny

$1\to G_{0}\to G\to G_{1}\to 1$

nazywa się rozszerzeniem grupy $G_{1}$ za pomocą grupy $G_{0}.$ Badanie rozszerzeń grupy sprowadza się do badania grup: podgrupy $G_{0}$ oraz faktorgrupy $G_{1}=G/G_{0}$.

• Kompleks łańcuchowy

$\ldots \leftarrow K_{n-1}\xleftarrow {\partial _{n}} K_{n}\xleftarrow {\partial _{n+1}} K_{n+1}\leftarrow \ldots$

jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $n$ spełniona jest równość

$\ker(\partial _{n})=\operatorname {im} (\partial _{n+1}),$

to znaczy, gdy dla wszystkich $n$ zachodzi równość $H_{n}K=0.$

Zatem homologie można interpretować jako miarę odchylenia kompleksu od dokładności. Kompleks dokładny nazywany jest kompleksem acyklicznym (nie ma w nim żadnych cykli poza brzegami).

• Dla przekształcenia łańcuchowego $f\colon K_{\bullet }\to L_{\bullet }$ kategorii $\partial {\mathcal {AG}}$ kompleksy $L_{\bullet },$ stożek $Cf_{\bullet }$ i zawieszenie $K_{\bullet }^{+}$ ze sobą związane krótkim ciągiem dokładnym:

$0\to L_{\bullet }{\xrightarrow {\iota }}Cf_{\bullet }{\xrightarrow {\kappa }}K_{\bullet }^{+}\to 0,$

gdzie $\iota y=(y,0)$ i $\kappa (y,x)=x.$

Zobacz też

• ciąg spektralny

Bibliografia

• А.А. Кириллов: Теория представлений. Москва: Наука, 1978. Brak numerów stron w książce
• Stanisław Balcerzyk, Tadeusz Józefiak: Pierścienie przemienne. Warszawa: PWN, 1985. ISBN 83-01-04874-3. Brak numerów stron w książce
• Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 5. Москва: Советская энциклопедия, 1985. Brak numerów stron w książce
• A. Dold: Lectures on algebraic topology. Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag, 1972. Brak numerów stron w książce