Lineær transformasjon

I matematikken er en lineær transformasjon en funksjon mellom to vektorrom som bevarer operasjonene vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon. Også begrepene lineær avbilding, lineær funksjon, lineær mapping og lineær operator blir brukt, i samsvar med språkbruken for funksjoner.

Lineære transformasjoner skrives ofte med stor bokstav, som i T(x), for å skille fra generelle funksjoner. Ofte utelates også parentesene rundt funksjonsargumentet, som i Tx.

Formell definisjon

La V og W være to vektorrom definert med samme kropp K, og la T' være en funksjon mellom de to vektorommene, T: V → W. Funksjonen er en lineær transformasjon hvis det for alle vektorer x og y i V og alle skalarer a i K gjelder at

${\begin{alignedat}{3}T(x+y)&=T(x)+T(y)\\T(ax)&=aT(x)\end{alignedat}}.$

Dette er ekvivalent med å si at T bevarer lineærkombinasjoner: Dersom x₁,..., x_m er vektorer i V og a₁, ..., a_m er skalarer i K, så er

$T(a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m})=a_{1}T(x_{1})+\cdots +a_{m}T(x_{m}).$

Alternativt kan vektorrommene V og W være definert over forskjellige kropper. Det er da vanlig å spesifisere hvilken av disse kroppene som blir assosiert med den lineære transformasjonen. Hvis V og W betraktes som K-vektorrom, som ovenfor, snakker man vanligvis om K-lineære transformasjoner. Eksempelvis er kompleks konjugasjon en R-lineær transformasjon C → C, men den er ikke C-lineær.

Eksempler

• En linær transformasjon fra de reelle tallene inn i de reelle tallene kan skrives på formen f(x) = ax. En lineær funksjon defineres noen ganger som en rettlinjet funksjon, men dette er en lineær transformasjon bare dersom kurven går gjennom origo. Derfor er ikke f(x) = ax + b en lineær transformasjon selv om de transformerte punktene ligger på en rett linje.

• Funksjonen T(x) = Ax der A er en reell n × m-matrise er en lineær transformasjon fra det Euklidske rommet R^m inn i Rⁿ.

• Operatoren T definert ved at $T(p)={\frac {dp}{dx}}$ der $p(x)$ er et reelt polynom er en lineær transformasjon fra vektorrommet av alle reelle polynom V inn i samme rom V.

Lineære transformasjoner mellom endeligdimensjonale rom

Utdypende artikkel: Matrise

En lineær transformasjon T mellom to vektorrom V og W som begge har endelig dimensjon vil alltid kunne skrives på matriseform, det vil si som

$T(x)=y_{n}=A_{nm}x_{m}\,$.

når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over de to like indeksene. Her er $y_{n}$ en komponentvektor basert på en definert basis i vektorrommet W. Tilsvarende er $x_{m}$ en komponentvektor basert på en valgt basis i vektorrommet V. Matrisen $A_{nm}$ er en n × m-matrise.

Enhver lineær transformasjon mellom endeligdimensjonale rom har altså en konkret representasjon som en matrise. Mye av teorien for matriser og for lineære transformasjoner vil derfor være felles. Mengden av lineære transformasjoner er imidlertid større enn det som kan representeres med matriser. Den følgende lineære transformasjonen kan ikke skrives på matriseform:

$T(x)=\int _{0}^{1}x(t)dt$,

der x(t) er en intergrerbar funksjon definert på intervallet mellom null og en.

Nullrom

Nullrommet eller kjernen til en lineær transformasjon T(x) mellom to vektorrom V og W er mengden av vektorer som er slik at T(x) = 0.

Fra definisjonen av en lineær transformasjon følger det umiddelbart at T(0) = 0, det vil si at null-vektoren alltid vil ligge i nullrommet.

Nullrommet er et underrom i V, ofte betegnet med N(T) eller ${\mathcal {N}}(T)$. Dersom dimensjonen til dette underrommet er endelig, kalles denne dimensjonen for nulliteten til den lineære transformasjonen. Den kan beregnes ved Gauss-eliminasjon av matrisen som representerer operatoren T.

En lineær transformasjon er en-til-en eller injektiv dersom nullrommet kun inneholder nullvektoren. En singulær lineær transformasjon er ikke injektiv, det vil si at den er mange-til-en.

Rang

Verdimengden til en lineær transformasjon T(x) mellom to vektorrom V og W er mengden av vektorer y i W som er slik at det eksisterer en vektor x i V som avbildes inn på y. Det vil si at det eksisterer en vektor x i V slik at T(x) = y. For en lineær transformasjon er verdimengden et underrom i W. Dersom dimensjonen til dette underrommet er endelig kalles dette for rangen til den lineære transformasjonen.

For en lineær transformasjon mellom to endeligdimensjonale vektorrom er det samsvar mellom rangen til transformasjonen og rangen til matrisa som representerer transformasjonen, det vil si at rangen til transformasjonen er lik det største antallet lineært uavhengige rader eller kolonner i matrisa. Dette kan beregnes ved Gauss-eliminasjon av matrisen som representerer operatoren T. Dimensjonen til vektorrommet V er lik summen av rangen til T og dens nullitet.

Egenverdier og egenvektorer

Utdypende artikkel: Egenvektor

For en lineær transformasjon T(x): V → V defineres en egenvektor x og den tilhørende skalare egenverdien λ  som et samhørende par som løser ligningen

$T(x)=\lambda x.\,$

Den lineære transformasjonen utfører en strekking av egenvektoren, men endrer ikke retningen til denne.

I studiet av lineære transformasjoner er det viktig å kartlegge hvilke egenskaper til transformasjonen som er uavhengig av valg av basis i definisjonsområdet og verdimengden. Egenverdier og egenvektorer spiller en viktig rolle i denne analysen.

Dersom vektorrommet V er endeligdimensjonalt sammenfaller definisjonen av egenverdi og egenvektor med tilsvarende definisjon for matriser. Generelt trenger det ikke eksistere egenverdier til en lineær transformasjon.

Eksterne lenker

• Lineær algebra, støttesider for studenter ved Universitetet i Oslo.