Legendre-polynom

Grafisk fremstilling av de fem første Legendre-polynomene P_n(x).

Legendre-polynom er polynom av en variabel som er av stor viktighet i matematikk og fysikk. De ble oppdaget av Adrien-Marie Legendre i 1782 i forbindelse beregning av gravitasjonskrefter mellom planeter. Kort deretter viste Pierre-Simon Laplace at de kunne generaliseres til sfærisk harmoniske funksjoner som etter etableringen av kvantemekanikken har fått stor betydning i atomfysikken.

De kan defineres på mange forskjellige måter. Hvilken definisjon man benytter, er avhengig av hvilken bruk man gjør av dem eller i hvilken sammenheng de opptrer.

Egenskaper

I mange sammenhenger opptrer Legendre-polynomene som løsninger av Laplace-ligningen ∇²Φ = 0 som blant annet gravitasjonspotensialet utenfor en masse må oppfylle. Ved bruk av kulekoordinater vil potensialet i allminnelighet avhenge av to vinkler θ og φ. I det spesielle tilfellet at løsningen skal være uavhengig av den asimutale vinkelen φ, vil den resterende vinkelavhengigheten være beskrevet ved en løsning av Legendres differensialligning

${\frac {d}{dx}}\left[\left(1-x^{2}\right){\frac {dP_{n}(x)}{dx}}\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0\,.$

hvor den variable x = cosθ  tar verdier mellom -1 og +1. Ligningen kan løses ved en rekkeutvikling i potenser av x. Denne vil inneholde et endelig antall ledd når parameteren n er et helt tall n = 0,1,2,3 etc. Disse spesielle løsningene er Legendre-polynom og betegnes som P_n(x ).

Ortogonalitet

Legendre-polynomene danner et ortogonalt sett av funksjoner. De er normert slik at deres indreprodukt har verdien

$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\mathop {} \!dx={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}$

hvor δ_mn  er Kronecker-deltaet som tar verdien 1 eller 0 avhengig av om m = n eller ikke.

Dette settet av polynomer er «fullstendig» på den måten at en vilkårlig funksjon f(x) kan skrives som en uendelig og konvergent rekke

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}P_{n}(x)$

hvor koeffisientene er

$a_{n}={\frac {2n+1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{n}(x)\,dx.$

Dette har mange praktiske anvendelser og danner grunnlaget for multipolutviklingen av et aksialsymmetrisk potensial eller funksjon.

Rodrigues' formel

Noen år etter at Legendre hadde funnet disse polynomene og etablert mange av deres egenskaper, ble det vist at de kan alle utregnes fra det kompakte uttrykket

$P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}$

som kalles Rodrigues' formel. Herav kan man også vise at Legendre-polynomene oppfyller rekursjonsformelen

$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.$

Ved å definere P₀(x) = 1 og P₁(x) = x, kan man generere alle polynomene. De neste blir da

${\begin{aligned}P_{2}(x)&={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)\\P_{3}(x)&={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x)\\P_{4}(x)&={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\\P_{5}(x)&={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\\P_{6}(x)&={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\end{aligned}}$

Genererende funksjon

Forskjellige variable som inngår i beregningen av gravitasjonspotensialet i punktet P for et asymmetrisk plassert massepunkt.

Historisk oppsto Legendre-polynomene i forbindelse med utregningen av gravitasjonspotensialet utenfor en aksialsymmetrisk massefordeling. Det enkleste eksempel på en slik fordeling er når et massepunkt er plassert slik at det ligger utenom origo til koordinatsystemet. Potensialet Φ i et punkt P vil da avta omvendt proporsjonalt med avstanden R til massepunktet der

$R={\sqrt {a^{2}+r^{2}-2ar\cos \theta }}$

når man gjør bruk av cosinussetningen. Her er a avstanden til massepunktet fra origo der θ er vinkelen mellom retningene til dette og feltpunktet P. Ved å innføre x = cosθ og t = a/r, kan man nå benytte binomialformelen til å utvikle kvadratroten i potenser av t for avstander r > a der t < 1. Koeffisientene i denne uendelige rekken blir da Legendre-polynom

${\frac {1}{\sqrt {1+t^{2}-2xt}}}=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n}P_{n}(x)\,.$

slik at uttykket på venstre side kalles den genererende funksjonen for disse polynomene.

Potensialet skapt av den asymmetriske massefordelingen blir dermed

$\Phi (r,\theta )={1 \over R}={\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta ),$

for avstander r > a. Dette er det aller enkleste eksempelet på en multipolutvikling der koeffisientene (a /r )ⁿ er størrelsen til den n-te multipol.

Assosierte Legendre-polynom

De er løsninger av Legendres generaliserte differensialligning

${\frac {d}{dx}}{\Big [}\left(1-x^{2}\right){\frac {dP_{\ell }^{m}(x)}{dx}}{\Big ]}+{\Big [}\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}{\Big ]}P_{\ell }^{m}(x)=0$

hvor indeksene ℓ and m er heltall. Den første kalles for polynomets «grad» og er alltid positiv eller null, mens den andre er dens «orden» og må ligge i intervallet - ℓ ≤ m ≤ ℓ for å ha regulære løsninger. Denne indeksen tar derfor 2ℓ + 1 forskjellige verdier.

Differensialligningen oppstår naturlig når Laplace-ligningen eller Schrödinger-ligningen løses i kulekoordinater. Bare når m er et like tall, vil løsningene være polynom. Derfor benyttes ofte det mer korrekte navnet «assosierte Legendre-funksjoner».

Den generaliserte differensialligningen til Legendre oppstår ved å derivere den opprinnelig m ganger. På den måten blir det klart at de assosierte polynomene kan utledes ved derivasjon av de vanlige Legendre-polynomene. En meget benyttet definisjon er

$P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}P_{\ell }}{dx^{m}}}$,

Faktoren foran kalles «Condon-Shortley-konvensjonen» og er spesielt benyttet i kvantemekanikken for å forenkle formlene der. Ved bruk av Rodrigues' formel, har man dermed

${\begin{aligned}P_{\ell }^{m}(x)&={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell !}}(1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }\\&={1 \over 2^{\ell }\ell !}{\frac {(\ell +m)!}{(\ell -m)!}}(1-x^{2})^{-m/2}\ {\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }\ \end{aligned}}$

som gjør det mulig å beregne disse nye funksjonene direkte. Denne sammenhengen betyr at de kan finnes også for m < 0 siden

$P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x)$

Når 0 ≤ m ≤ ℓ oppfyller de ortogonalitet på formen

$\int _{-1}^{1}\!dxP_{\ell }^{m}(x)P_{\ell '}^{m}(x)dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{\ell \ell '}$

Eksempel

Disse funksjonene er mest hensiktsmessig fremstilt ved å benytte den variable x = cosθ. For grad ℓ < 4 tar de formen

${\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]\end{aligned}}$

Kuleflatefunksjoner

Sfærisk harmoniske funksjoner som ofte omtales som kuleflatefunksjoner, er i stor grad bygget opp av assosierte Legendre-polynom. Den vanligste definisjonen som blir brukt i kvantemekanikken, er

$Y_{\ell m}(\theta ,\phi )={\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}\cdot {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi }\qquad -\ell \leq m\leq \ell$

Disse funksjonene er komplekse. Med de konvensjonene som er benyttet her, er

$Y_{\ell m}^{*}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}Y_{\ell ,-m}(\theta ,\phi )$

Som funksjoner av kuleflatekoordinatene (θ,φ) gir de direkte den romlige fordeling av elektronene i et atom som beskrevet av Schrödinger-ligningen. Det fører til å innordne elektronene i forskjellige elektronskall som i stor grad bestemmer deres kjemiske egenskaper.