Congruente matrices

In de lineaire algebra zegt men van twee vierkante matrices $A,B\in K^{n\times n}$ (over het lichaam (Ned) / Veld (Be) $K$ ) dat ze congruent zijn als er een inverteerbare matrix $P\in K^{n\times n}$ bestaat zodanig dat

B=P^{\text{T}}\!\!AP

,

waarin $P^{\text{T}}$ de getransponeerde aanduidt van $P$ .

Verband met bilineaire vorm

Twee matrices zijn dan en slechts dan congruent als ze beide een grammatrix zijn van dezelfde bilineaire vorm.

Bewijs

Stel dat $A$ en $B$ congruente $n\times n$ -matrices zijn over een lichaam/veld $K$ . Kies als basis de eenheidsvectoren $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ in $V=K^{n}$ en definieer de bilineaire vorm $\alpha \colon V\times V\to K$ door:

\alpha (e_{i},e_{j})=A_{ij}

Dan is voor $x,y\in K^{n}$

\alpha (x,y)=x^{\text{T}}\!\!Ay

De vectoren $\{f_{1}=Pe_{1},\ldots ,f_{n}=Pe_{n}\}$ vormen ook een basis en voor de bilineaire vorm met:

\beta (f_{i},f_{j})=B_{ij}

geldt:

\alpha (f_{i},f_{j})=f_{i}^{\text{T}}Af_{j}=(Pe_{i})^{\text{T}}A(Pe_{j})=e_{i}^{\text{T}}P^{\text{T}}\!\!APe_{j}=e_{i}^{\text{T}}Be_{j}=B_{ij}=\beta (f_{i},f_{j})

dus $\beta =\alpha$ .

Stel omgekeerd dat de matrices $A$ en $B$ beide de bilineaire vorm $\lambda \colon V\times V\to K$ representeren. Dan zijn er bases $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ en $\{f_{1},\ldots ,f_{n}\}$ , zodat:

\lambda (x,y)=x_{e}^{\text{T}}\!Ay_{e}=x_{f}^{\text{T}}\!By_{f}=(Px_{f})^{\text{T}}\!A(Py_{f})=x_{f}^{\text{T}}\!P^{\text{T}}\!\!APy_{f}

waarin $x_{e},\,x_{f},\,y_{e},\,y_{f}$ de getallenrijtjes zijn van de coördinaten van $x$ en $y$ ten opzichte van de bases $\{e\}$ en $\{f\}$ , en $P$ de matrix van de basistransformatie is. Kennelijk is:

B=P^{\text{T}}\!\!AP

,

dus zijn $A$ en $B$ congruent.

Equivalentierelatie

Matrix-congruentie is een equivalentierelatie, want:

(Reflexiviteit) Elke matrix is congruent aan zichzelf; neem $P=\mathbb {I}$ de eenheidsmatrix.
(Symmetrie) Als $B$ congruent is met $A$ , is ook $A$ congruent met $B$ , want $P$ is inverteerbaar, dus