Naar inhoud springen

Coördinatenruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de coördinatenruimte het -voudige cartesische product van het lichaam (Ned) / veld (Be) . De coördinatenruimte bestaat uit de -tupels, dus rijen van elementen, van . De rijen van aftelbaar oneindig veel elementen van vormen ook een coördinatenruimte. Een coördinatenruimte is het voorbeeld van een vectorruimte met aftelbare dimensie.

De reële coördinatenruimte is een voorbeeld van een coördinatenruimte.

Voor een willekeurig lichaam (Ned) / veld (Be) , zoals de reële getallen of de complexe getallen en natuurlijk getal wordt de ruimte van alle -tupels van elementen van de n-dimensionale coördinatenruimte genoemd.

Deze coördinatenruimte is een -dimensionale vectorruimte over . Een element van is een rij

,

waarin elke een element is van . De elementen heten de kentallen van de vector . De vectoren , waarin de -de eenheidsvector uit de standaardbasis is, heten de componenten van . Een vector is de som van de componenten ervan:

Optellen en scalair vermenigvuldigen op zijn gedefinieerd door

en

De nulvector is

en de additieve inverse van de vector wordt gegeven door

Alle -dimensionale vectorruimten over hetzelfde lichaam zijn isomorf met elkaar.

Matrixnotatie

[bewerken | brontekst bewerken]

De elementen van de coördinatenruimte worden ook wel in matrixnotatie geschreven als kolomvectoren

of soms als rijvectoren:

De coördinatenruimte kan dan worden geïnterpreteerd als de ruimte van alle -kolomvectoren of alle -rijvectoren, met daarbij de bewerkingen van optellen van matrices en de matrixvermenigvuldiging.

Lineaire transformaties van naar kunnen dan worden geschreven als -matrices, die via linkervermenigvuldiging, wanneer de elementen van kolomvectoren zijn, of rechtervermenigvuldiging, als het rijvectoren zijn, inwerken op de elementen van .

Standaardbasis

[bewerken | brontekst bewerken]

De coördinatenruimte heeft als standaardbasis het stelsel eenheidsvectoren:

waarin 1 de neutrale element voor de vermenigvuldiging in aanduidt.