Tensoralgebra

In de abstracte algebra, een onderdeel van de wiskunde, is de tensoralgebra (synoniem: vrije algebra) een wiskundige structuur die een gegeven vectorruimte zodanig uitbreidt, dat de resulterende verzameling gesloten is onder het tensorproduct.

Definitie

Zij $V$ een vectorruimte over een lichaam/veld $K$. De tensoralgebra over $V$ is de vectorruimte over $K$ gedefinieerd door de oneindige directe som van vectorruimten

$T(V)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }\bigotimes _{k=0}^{n}V=\bigoplus _{n=0}^{\infty }V^{\otimes n}$

waarin $V^{\otimes n}$ het $n$-voudige tensorproduct van $V$ met zichzelf is (in het bijzonder is $V^{\otimes 0}$ gelijk aan $K$ zelf, opgevat als vectorruimte over $K$). Op de tensoralgebra bestaat een unieke bilineaire afbeelding

$\otimes :T(V)\times T(V)\to T(V)$

die associatief is en die voor gewone vectoren samenvalt met het bekende tensorproduct.

Deze definitie kan zonder meer worden veralgemeend tot de situatie waarbij $K$ slechts een commutatieve ring is (meestal wordt het bestaan van een eenheidselement geëist), en $V$ een $K$-moduul.

$T(V)$ is een associatieve algebra. Hij is niet noodzakelijk commutatief. Als de ring $K$ een eenheidselement heeft (dus zeker als $K$ een lichaam is), dan heeft $T(V)$ een eenheidselement.

Verwante begrippen

De uitwendige algebra over $V$ is de oneindige directe som van alle antisymmetrische tensorproducten van $V$ met zichzelf. Hij kan worden opgevat als de quotiëntalgebra van $T(V)$ over het (tweezijdige) ideaal dat wordt voortgebracht door elementen van de vorm $u\otimes v+v\otimes u$.

De symmetrische algebra over $V$ is de oneindige directe som van alle symmetrische tensorproducten van $V$ met zichzelf. Hij kan worden opgevat als de quotiëntalgebra van $T(V)$ over het ideaal dat wordt voortgebracht door elementen van de vorm $u\otimes v-v\otimes u$.