최대가능도 방법

최대가능도방법 (最大可能度方法, 영어: maximum likelihood method) 또는 최대우도법(最大尤度法)은 어떤 확률변수에서 표집한 값들을 토대로 그 확률변수의 모수를 구하는 방법이다. 어떤 모수가 주어졌을 때, 원하는 값들이 나올 가능도를 최대로 만드는 모수를 선택하는 방법이다. 점추정 방식에 속한다.

방법

어떤 모수 $\theta$ 로 결정되는 확률변수들의 모임 $D_{\theta }=(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n})$ 이 있고, $D_{\theta }$ 의 확률 밀도 함수나 확률 질량 함수가 $f$ 이고, 그 확률변수들에서 각각 값 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ 을 얻었을 경우, 가능도 ${\mathcal {L}}(\theta )$ 는 다음과 같다.

{\mathcal {L}}(\theta )=f_{\theta }(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})

여기에서 가능도를 최대로 만드는 $\theta$ 는

{\widehat {\theta }}={\underset {\theta }{\operatorname {argmax} }}\ {\mathcal {L}}(\theta )

가 된다.

이때 $X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}$ 이 모두 독립적이고 같은 확률분포를 가지고 있다면, ${\mathcal {L}}$ 은 다음과 같이 표현이 가능하다.

{\mathcal {L}}(\theta )=\prod _{i}f_{\theta }(x_{i})

또한, 로그함수는 단조 증가하므로, ${\mathcal {L}}$ 에 로그를 씌운 값의 최댓값은 원래 값 ${\widehat {\theta }}$ 과 같고, 이 경우 계산이 비교적 간단해진다.

{\mathcal {L}}^{*}(\theta )=\log {\mathcal {L}}(\theta )=\sum _{i}\log f_{\theta }(x_{i})

예제: 가우스 분포

평균 $\mu$ 와 분산 $\sigma ^{2}$ 의 값을 모르는 정규분포에서 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ 의 값을 표집하였을 때, 이 값들을 이용하여 원래 분포의 평균과 분산을 추측한다. 이 경우 구해야 하는 모수는 $\theta =(\mu ,\sigma )$ 이다. 정규분포의 확률 밀도 함수가

f_{\mu ,\sigma }(x_{i})={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp({\frac {-(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}})

이고, $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ 가 모두 독립이므로

{\mathcal {L}}(\theta )=\prod _{i}f_{\mu ,\sigma }(x_{i})=\prod _{i}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp({\frac {-(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}})

양변에 로그를 씌우면

{\mathcal {L}}^{*}(\theta )=-{\frac {n}{2}}\log {2\pi }-n\log \sigma -{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i}{(x_{i}-\mu )^{2}}

가 된다. 식의 값을 최대화하는 모수를 찾기 위해, 양변을 $\mu$ 로 각각 편미분하여 0이 되는 값을 찾는다.

{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\mathcal {L}}^{*}(\theta )={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i}(x_{i}-\mu )

={\frac {1}{\sigma ^{2}}}(\sum _{i}x_{i}-n\mu )

따라서 이 식을 0으로 만드는 값은 ${\widehat {\mu }}=(\sum _{i}x_{i})/n$ 으로, 즉 표집한 값들의 평균이 된다. 마찬가지 방법으로 양변을 $\sigma$ 로 편미분하면

{\frac {\partial }{\partial \sigma }}{\mathcal {L}}^{*}(\theta )=-{\frac {n}{\sigma }}+{\frac {1}{\sigma ^{3}}}\sum _{i}(x_{i}-\mu )^{2}

따라서 이 식을 0으로 만드는 값은 다음과 같다.

\sigma ^{2}=\sum _{i}(x_{i}-\mu )^{2}/n

참고 문헌

Lehmann, E. L.; Casella, G. (1998). 《Theory of Point Estimation》 (영어) 2판. Springer. ISBN 0-387-98502-6. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
Shao, Jun (1998). 《Mathematical Statistics》 (영어). New York: Springer. ISBN 0-387-98674-X.

같이 보기

외부 링크

“Maximum-likelihood method”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Likelihood equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Maximum likelihood”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Maximum likelihood estimator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.