분해 가능 확대

체론에서 분해 가능 확대(分解可能擴大, 영어: separable extension) 또는 분리 가능 확대(分離可能擴大)는 최소 다항식의 근들이 겹치지 않는 대수적 확대이다.

정의

체 $K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 기약 다항식 $p\in K[x]$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기약 다항식을 분해 가능 다항식(分解可能多項式, 영어: separable polynomial)이라고 한다.

• 모든 체의 확대 $L/K$ 및 $a\in L$에 대하여, $L[x]$ 속에서 $(x-a)^{2}\nmid p(x)$이다.
• $|\{a\in L\colon p(a)=0\}|=\deg p$인 체의 확대 $L/K$가 존재한다.
• 모든 체의 확대 $L/K$ 및 $a\in L$에 대하여, $p(a)=0=p'(a)$임은 불가능하다.
• 형식적 도함수 $p'\in K[x]$에 대하여, $dp/dx\neq 0$이다.

최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 대수적 확대 $L/K$에 대하여, 만약 모든 $a\in L$에 대하여 그 최소 다항식 $p_{a}(x)\in K[x]$이 분해 가능 다항식이라면 $L/K$를 분해 가능 확대라고 한다.

체 $K$에 대하여, 그 대수적 폐포 ${\bar {K}}$ 속에서, $K$에 대하여 최소 다항식이 분해 가능한 원소들의 집합 $K^{\operatorname {sep} }$은 ${\bar {K}}$의 부분체를 이루며, 이를 $K$의 분해 가능 폐포(分解可能閉包, 영어: separable closure)라고 한다. $K$의 분해 가능 폐포는 (동형을 무시하면) 유일하다. (다만, 대수적 폐포는 표준적이지 않으므로, 서로 다른 두 분해 가능 폐포 사이의 동형은 표준적이지 않다.) $K$의 분해 가능 확대는 $K$의 최대 갈루아 확대이다.

대수적 확대 $L/K$에 대하여, 만약 모든 $a\in L\setminus K$에 대하여 그 최소 다항식 $p_{a}(x)\in K[x]$이 분해 가능 다항식이 아니라면 $L/K$를 완전 비분해 확대(完全非分解擴大, 영어: purely inseparable extension)라고 한다.

성질

임의의 체 $K$에 대하여, $K^{\operatorname {sep} }/K$는 분해 가능 확대이며, ${\bar {K}}/K^{\operatorname {sep} }$은 완전 비분해 확대이다. 임의의 대수적 확대 $L/K$에 대하여, $(L\cap K^{\operatorname {sep} })/K$는 분해 가능 확대이며, $L/(L\cap K^{\operatorname {sep} })$은 완전 비분해 확대이다. 임의의 정규 확대 $L/K$에 대하여, $K^{\operatorname {Aut} (L/K)}/K$는 완전 비분해 확대이며, $L/K^{\operatorname {Aut} (L/K)}$는 갈루아 확대이다. 또한 $L$은 $(L\cap K^{\operatorname {sep} })$와 $K^{\operatorname {Aut} (L/K)}/K$의 합성체이며, $K$는 둘의 교집합이다. 여기서,

$K^{\operatorname {Aut} (L/K)}=\{a\in L\colon \forall \sigma \in \operatorname {Aut} (L/K)\colon \sigma (a)=a\}$

는 $L/K$의 모든 자기 동형 사상에 대한 고정점의 집합이다.

유한 확대 $L/K$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 분해 가능 확대이다.
• 체 대각합 $\operatorname {T} _{L/K}\colon L\to K$는 전사 함수이다.
• $\operatorname {T} _{L/K}\neq 0$

예

완전체의 대수적 확대는 항상 분해 가능 확대이다. 즉, 분해 불가능 확대는 양의 표수에서만 존재하는 현상이다.

대수적 확대

$\mathbb {F} _{p}(t)/\mathbb {F} _{p}(t^{p})$

는 정규 확대이지만 분해 가능 확대가 아니다. $t\in \mathbb {F} _{p}(t)$의 최소 다항식은

$x^{p}-t^{p}\in \mathbb {F} _{p}(t^{p})[x]$

인데, $\mathbb {F} _{p}(t)[x]$에서 이는

$x^{p}-t^{p}=(x-t)^{p}\in \mathbb {F} _{p}(t)[x]$

와 같이 인수분해되므로 분해 가능하지 않다.

참고 문헌

• Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Separable extension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Separable extension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Levy, Alon (2007년 2월 13일). “Galois Theory: Separability”. 《Abstract Nonsense》 (영어).