단순 가군

환론에서 단순 가군(單純加群, 영어: simple module)은 그 부분가군이 자신 또는 0밖에 없는 가군이다. 즉, 0이 아닌 원소 하나만으로 생성되는 부분가군이 항상 전체 가군과 같은 경우다.

정의

환 $R$ 의 오른쪽 가군 $M$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 오른쪽 가군 $M$ 을 단순 오른쪽 가군(영어: simple right module)이라고 한다.

$M$ 은 정확히 두 개의 부분 $R$ -가군을 갖는다. (이들은 영가군 $\{0\}$ 및 $M$ 전체이다.)
$M$ 의 길이가 1이다.
$M$ 은 영가군이 아니며, 임의의 $m\in M\setminus \{0\}$ 에 대하여 순환 가군(영어: cyclic module) $(m)=M$ 이다.
$M\cong R/{\mathfrak {m}}$ 인 극대 오른쪽 아이디얼 ${\mathfrak {m}}\subset R$ 가 존재한다.

왼쪽 가군에 대해서도 마찬가지 정의를 내릴 수 있다.

기약 표현

군 표현은 체를 계수로 하는 군환에 대한 가군이다. 즉, $G$ 가 군이고, $V$ 가 체 $k$ 에 대한 벡터 공간이라면, 표현 $G\to \operatorname {GL} (V)$ 는 군환 $k[G]$ 에 대한 가군과 같다. 이 경우, 가군으로서 단순 가군인 군 표현을 기약 표현(irreducible representation)이라고 한다. 즉, 기약표현은 (자신 또는 0차원 표현을 제외한) 부분표현을 가지지 않는 표현이다.