교대급수

미적분학에서 교대급수(交代級數, 영어: alternating series)는 양과 음의 항이 번갈아 가며 나타나는 실수 항 급수다. 교대급수 판정법(交代級數判定法, 영어: alternating series test)에 따르면, 만약 교대급수의 항의 절댓값이 0으로 수렴하는 단조수열이라면, 이 급수는 수렴한다. 교대급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우다.

정의

교대급수

음이 아닌 실수의 수열 $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$ ( $a_{n}\geq 0\forall n\geq 0$ )에 대한 교대급수는 다음 두 급수 가운데 하나를 뜻한다.

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}=-a_{0}+a_{1}-a_{2}+a_{3}-\cdots

교대급수 판정법

음이 아닌 실수의 수열 $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$ ( $a_{n}\geq 0\forall n\geq 0$ )에 대하여, 다음 두 조건이 성립한다고 하자.

감소수열이다. 즉, $a_{0}\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots$
$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$

그렇다면, 교대급수

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-\cdots

는 수렴한다. 또한, 다음 부등식이 성립한다.^[1]^:183

\left|\sum _{i=n}^{\infty }(-1)^{i}a_{i}\right|\leq a_{n}

이를 교대급수 판정법이라고 한다.

디리클레 판정법을 통한 증명:

교대급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우다. 디리클레 판정법에 따르면, 유계 부분합을 갖는 급수의 항과 0으로 수렴하는 단조수열을 곱한 급수는 수렴한다. 급수

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}=1-1+1-\cdots

는 발산하지만, 이 급수의 부분합은 유계 수열이다. 따라서 디리클레 판정법을 적용할 수 있다.

직접적인 증명:

교대급수의 부분합

S_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}a_{i}

을 생각하자.

{\begin{aligned}S_{n+2}&=S_{n}+(-1)^{n+1}a_{n+1}+(-1)^{n+2}a_{n+2}\\&=S_{n}+(-1)^{n+1}(a_{n+1}-a_{n+2})\end{aligned}}

이므로, $n$ 이 홀수일 때 $S_{n+2}\geq S_{n}$ 이며, $n$ 이 짝수일 때 $S_{n+2}\leq S_{n}$ 이다. 즉, $(S_{2k+1})_{k=0}^{\infty }$ 는 증가수열이며, $(S_{2k})_{k=0}^{\infty }$ 은 감소수열이다. 또한,

S_{2k+1}=S_{2k}+(-1)^{2k+1}a_{2k+1}=S_{2k}-a_{2k+1}\leq S_{2k}

이므로,

S_{1}\leq S_{3}\leq S_{5}\leq \cdots \leq S_{4}\leq S_{2}\leq S_{0}

이다. 특히, $S_{1}$ 과 $S_{0}$ 은 수열 $(S_{n})_{n=0}^{\infty }$ 의 하계와 상계이다. 따라서 $(S_{2k+1})_{k=0}^{\infty }$ 과 $(S_{2k})_{k=0}^{\infty }$ 은 모두 유계 수열이다. 모든 단조 유계 수열은 수렴하므로, 두 수열은 수렴한다.

S=\lim _{k\to \infty }S_{2k+1}\in \mathbb {R}

S'=\lim _{k\to \infty }S_{2k}\in \mathbb {R}

라고 하자. 그렇다면,

0=\lim _{k\to \infty }a_{2k+1}=\lim _{k\to \infty }(S_{2k}-S_{2k+1})=S-S'

이다. 즉, 두 수열의 극한은 같다. 따라서, 교대급수의 부분합 $(S_{n})_{n=0}^{\infty }$ 은 ( $S=S'$ 으로) 수렴한다. 항상

0\leq a_{0}-a_{1}=S_{1}\leq S_{n}\leq S_{0}=a_{0}

이므로,

\left|\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}a_{i}\right|\leq a_{0}

이다. 수열 $(a_{0},a_{1},a_{2},\dots )$ 을 수열 $(a_{n},a_{n+1},a_{n+2},\dots )$ 로 대체하면 부등식

\left|\sum _{i=n}^{\infty }(-1)^{i}a_{i}\right|\leq a_{n}

을 얻는다.

예

모든 수렴하는 양의 실수 항 급수에 대하여, 이에 대응하는 교대급수는 절대 수렴하며, 특히 수렴한다.

교대급수

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots

를 생각하자. 수열 $(1/n)_{n=0}^{\infty }$ 은 감소수열이며, 0으로 수렴한다. 교대급수 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다. 이 교대급수에 대응하는 양의 실수 항 급수는 조화급수이며, 이는 발산한다. 즉, 이 교대급수는 오직 조건 수렴한다. 사실, 이 급수의 합은

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=\ln 2

이다. 이는 아벨 극한 정리를 통하여 보일 수 있다.

보다 일반적으로, 교대급수

\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{p}\ln ^{q}n}}\qquad (p,q\in \mathbb {R} )

를 생각하자.

만약 $p>1$ 이거나 $p=1$ , $q>1$ 이라면, 이 급수는 절대 수렴한다. 이는 적분 판정법을 통하여 보일 수 있다.
만약 $p=1$ , $q\leq 1$ 이거나 $0<p<1$ 이거나 $p=0$ , $q>0$ 이라면, 적분 판정법에 따라 이 급수는 절대 수렴하지 않는다. 그러나, 충분히 큰 $x\gg 1$ 에 대하여 $(x^{-p}\ln ^{-q}x)'=x^{-p-1}\ln ^{-q-1}x(-p\ln x-q)<0$ 이므로, $1/(n^{p}\ln ^{q}n)$ 은 최종적으로 감소 수열이다. 또한 $1/(n^{p}\ln ^{q}n)$ 은 0으로 수렴한다. 교대급수 판정법에 의하여, 이 급수는 조건 수렴한다.
만약 $p=0$ , $q\leq 0$ 이거나 $p<0$ 이라면, $(-1)^{n}/(n^{p}\ln ^{q}n)$ 은 0으로 수렴하지 않는다. 따라서 이 급수는 발산한다.