복소수 미분 형식

미분기하학에서 복소수 미분 형식(複素數微分形式, 영어: complex differential form)은 복소다양체 위에 정의한 미분 형식이다. (실수) 매끄러운 다양체 위의 미분 형식과는 달리, 정칙 형식 · 돌보 코호몰로지 등의 개념을 정의할 수 있다.

정의

$n$차원의 복소다양체 $M$을 생각하자. 그렇다면, 그 접다발의 복소화 $\mathrm {T} ^{\mathbb {C} }M$는 복소구조 $J\colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} M$, $J^{2}=-1$의 고윳값 $\pm \mathrm {i}$에 따른 고유 공간

$\mathrm {T} ^{\mathbb {C} }M=\mathrm {T} ^{+}M\oplus \mathrm {T} ^{-}M$

으로 분해되며, 이들은 각각 복소수 벡터 다발을 이룬다. 이 가운데 $\mathrm {T} ^{+}M$은 항상 정칙 벡터 다발이지만, $\mathrm {T} ^{-}M$은 일반적으로 그렇지 않다.

이들에 각각 올별 복소수 쌍대 공간을 취하면, 복소수 벡터 다발

$\mathrm {T} ^{+*}M=\Omega ^{1,0}M$

$\mathrm {T} ^{-*}M=\Omega ^{0,1}M$

을 얻는다. 이들의 쐐기곱을 취하여 복소수 벡터 다발

$\Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}M\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}M} _{p}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}M\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}M} _{q}$

을 취할 수 있다. (만약 $q=0$이라면 이는 역시 정칙 벡터 다발이다.) 이 다발의 매끄러운 단면을 $(p,q)$차 복소수 미분 형식이라고 한다.

$\Omega ^{p,0}$은 정칙 벡터 다발이므로, 정칙 단면의 개념을 정의할 수 있다. $\Omega ^{p,0}$의 정칙 단면을 $p$차 정칙 미분 형식(正則微分形式, 영어: holomorphic differential form)이라고 한다.

보다 일반적으로, 복소다양체 $M$ 위의 정칙 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $E$값의 복소수 미분 형식(영어: $E$-valued complex differential form)을 $\Omega ^{p,q}\otimes _{\mathbb {C} }E$의 매끄러운 단면으로 정의할 수 있다. 마찬가지로, $E$값의 $p$차 정칙 미분 형식은 정칙 벡터 다발 $\Omega ^{p,0}\otimes _{\mathbb {C} }E$의 정칙 단면이다.

국소 좌표계로의 표현

국소적으로, $M$의 임의의 점의 근방 $U$에 복소수 좌표 $z^{i},{\bar {z}}^{i}$ ($i=1\dots n$)를 잡을 수 있다. 이에 따라 실수 다양체와 마찬가지로 국소적으로 복소수 미분 형식

$\mathrm {d} z^{i}\in \Omega ^{1,0}(U)\qquad (i\in \{1,\dotsc ,n\})$

$\mathrm {d} {\bar {z}}^{i}\in \Omega ^{0,1}(U)\qquad (i\in \{1,\dotsc ,n\})$

를 정의할 수 있다. 그렇다면, 일반적인 복소수 미분 형식은 국소적으로

$\alpha =\sum _{i,j,\dotsc ,k,l,\dotsc }f_{ij\dotso kl\dotso }\mathrm {d} z^{i}\wedge \mathrm {d} z^{j}\wedge \dotsb \mathrm {d} {\bar {z}}^{k}\wedge \mathrm {d} {\bar {z}}^{l}\wedge \dotsb$

$f_{ij\dotso kl\dotso }\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U,\mathbb {C} )$

꼴의 형식을 취한다. 여기서 $\mathrm {d} z$가 $p$ 개, $\mathrm {d} {\bar {z}}$가 $q$개 있으면 이를 $(p,q)$-형식으로 부른다.

국소 좌표계로는 p차 정칙 미분 형식 $\alpha$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,\mathrm {d} z^{I}$

여기서 $f_{I}\colon U\to \mathbb {C}$는 정칙 함수다. 즉, $p$차 정칙 미분 형식은

${\bar {\partial }}\alpha =0$

을 만족하는 $(p,0)$차 복소수 미분 형식 $\alpha$이다.

성질

실수 미분 형식과의 관계

복소다양체 $M$은 복소구조를 잊으면 매끄러운 다양체이므로, 그 위에 (실수) 미분 형식을 정의할 수 있다. 이 경우

$(\mathrm {T} ^{*}M)^{\mathbb {C} }=\Omega ^{1,0}M\oplus \Omega ^{0,1}M$

이므로,

$\Omega ^{k}(M)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\Omega ^{k}(M;\mathbb {C} )=\bigoplus _{q=0}^{k}\Omega ^{k-q,q}(M)$

이 된다.

이 경우, 외미분

$\mathrm {d} \colon \Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)$

은 돌보 복합체의 추가 등급에 따라서 분해되는데, 이 경우 항상

$\mathrm {d} ^{\mathbb {C} }\colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{p,q+1}(M)\oplus \Omega ^{p+1,q}(M)$

임을 보일 수 있다. 즉,

$\partial \colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{p+1,q}(M)$

${\bar {\partial }}\colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{p,q+1}(M)$

로 정의하면,

$\mathrm {d} =\partial +{\bar {\partial }}$

이다. 이 두 미분 연산자 $\partial$과 ${\bar {\partial }}$을 돌보 연산자(Dolbeault演算子, 영어: Dolbeault operator)라고 부른다.

국소 좌표계로는 돌보 연산자를 외미분과 유사하게 정의할 수 있다. 즉 $(p,q)$-형식 $\alpha$의 경우,

$\alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}$

그 돌보 연산자는 다음과 같다.

$\partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}$

${\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}$

여기서 $I$, $J$는 다중지표다.

돌보 코호몰로지

복소다양체의 돌보 연산자들은 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.

$\partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0$

따라서 $\partial$ 또는 ${\bar {\partial }}$로서 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 가운데, ${\bar {\partial }}$로 정의되는 것은 $\Omega ^{p,0}$의 정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산하며, 반대로 $\partial$로 정의되는 것은 $\Omega {0,q}$의 반정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산한다. 보통 정칙 함수 및 정칙 단면의 개념을 사용하므로, 보통 ${\bar {\partial }}$로 정의되는 코호몰로지를 사용한다.

즉, 다음과 같은, 복소수 벡터 공간(의 층)으로 구성된 사슬 복합체를 생각하자.

$\Omega ^{p,0}{\stackrel {{\bar {\partial }}_{0}}{\to }}\Omega ^{p,1}{\stackrel {{\bar {\partial }}_{1}}{\to }}\Omega ^{p,2}{\stackrel {{\bar {\partial }}_{2}}{\to }}\cdots$

그 코호몰로지는 다음과 같이 $(p,q)$-형식의 동치류 공간이다.

$\operatorname {H} _{\bar {\partial }}^{p,q}=\ker {\bar {\partial }}_{q}/\operatorname {im} \,{\bar {\partial }}_{q-1}$

이를 돌보 코호몰로지(영어: Dolbeault cohomology)라고 부른다. 돌보 코호몰로지 공간의 (복소수 벡터 공간) 차원을 호지 수(영어: Hodge number)라고 부른다. 즉 호지 수 $h^{p,q}$는 다음과 같다.

$h^{p,q}=\dim \operatorname {H} _{\bar {\partial }}^{p,q}\in \mathbb {N} \sqcup \{\infty \}$

호지 수는 (복소수 벡터 공간의 차원이므로) 음이 아닌 정수 또는 무한대이다. 만약 복소다양체가 콤팩트하면 호지 수는 유한하다.

호지 수는 드람 코호몰로지의 차원인 베티 수 $b^{k}$에 대응하며, 특히 다음이 성립한다.

$b^{k}(M)=\sum _{p+q=k}h^{p,q}(M)$

$n$차원 복소다양체는 총 $(n+1)^{2}$개의 호지 수

$h^{p,q}\qquad (p,q\in \{0,\dotsc ,n\})$

를 가진다. 이 가운데 $h^{0,0}=b^{0}$은 $M$의 연결 성분의 수이다. 또한, 콤팩트 연결 복소다양체의 경우 세르 쌍대성

$\operatorname {H} ^{q}(V,{\mathcal {O}})\cong \operatorname {H} ^{q}(V,\Omega ^{n,0})^{*}$

에 의하여

$h^{0,q}=h^{n,q}$

가 성립한다.

만약 $M$이 켈러 다양체의 구조를 가질 경우, 항상

$h^{p,q}=h^{q,p}=h^{n-p,n-q}$

가 성립한다.

층 코호몰로지

돌보 복합체

$0\to \Omega ^{p,0}(M){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{p,1}(M){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{p,2}(M)\to \dotsb$

는 섬세층으로 구성되며, $p$차 정칙 단면들의 층의 분해를 이룬다. 즉, 그 코호몰로지는 $p$차 정칙 단면의 층의 층 코호몰로지와 같다.

$\operatorname {H} _{\bar {\partial }}^{p,q}(M)\cong \operatorname {H} ^{q}(M,\Omega ^{p,0})$

이를 돌보 정리(영어: Dolbeault's theorem)라고 한다. 특히, 만약 $p=0$일 경우, 0차 정칙 미분 형식은 정칙 함수이므로, 돌보 복합체는 구조층의 코호몰로지를 계산한다.

이는 실수 미분 형식의 경우 드람 코호몰로지가 상수층 ${\underline {\mathbb {R} }}$의 섬세한 분해를 이루는 것과 마찬가지다.

보다 일반적으로, 임의의 정칙 벡터 다발 $E$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 돌보 복합체

$0\to \Gamma ^{\infty }(E)=\Omega ^{0,0}(M;E){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{0,1}(M;E){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{0,2}(M;E)\to \dotsb$

는 $E$의 층 코호몰로지의, 섬세층으로 구성된 분해를 이루며, 그 돌보 코호몰로지는 $E$의 층 코호몰로지와 일치한다. ($p>0$인 경우는 정칙 벡터 다발 $E'=E\otimes _{\mathbb {C} }\Omega ^{p,0}$의 층 코호몰로지이므로, $p=0$인 경우로 귀결된다.) 예를 들어

$\operatorname {H} ^{0}(E)=\ker({\bar {\partial }}\upharpoonright \Omega ^{0,0}(M;E))$

는 ${\bar {\partial }}\alpha =0$인 $E$ 값의 (0,0)차 미분 형식의 복소수 벡터 공간, 즉 $E$의 정칙 단면의 복소수 벡터 공간이다.

예

리만 구 $\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}$ 위의 모든 정칙 벡터 다발은 다음과 같은 꼴이다.

$\bigoplus _{i}{\mathcal {O}}(d_{i})$

여기서 ${\mathcal {O}}(d)$는 $d$차의 유일한 정칙 선다발이다. 이는 복소수 1차원이므로 $\Omega ^{1,0}$은 표준 선다발과 같으며, 이는 ${\mathcal {O}}(-2)$이다. (리만-로흐 정리에 의하여, 종수 $g$의 리만 곡면의 표준 선다발의 차수는 $2g-2$이며, 리만 구는 $g=0$인 경우이다.)

리만-로흐 정리에 의하여,

$\operatorname {H} ^{0,0}(\operatorname {CP} ^{1})=\operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(0))=\mathbb {C}$

$\operatorname {H} ^{1,0}(\operatorname {CP} ^{1})=\operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))=0$

이다. 즉,

• $\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}$ 위에 대역적으로 정의되는 0차 정칙 미분 형식(즉, 정칙 함수)은 상수 함수 밖에 없다.
• $\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}$ 위에는 대역적으로 정의되는 1차 정칙 미분 형식이 존재하지 않는다.

마찬가지로,

$\operatorname {H} ^{1,1}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1})=\operatorname {H} ^{1}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))=\operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(2))^{*}\cong \mathbb {C}$

$\operatorname {H} ^{0,1}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1})=\operatorname {H} ^{1}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(0))=\operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))^{*}=\operatorname {H} ^{1,0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1})^{*}=0$

이다. 여기서 세르 쌍대성을 사용하였다.

물론, $\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}$ 위의 (0,0)차 및 (0,1)차 및 (1,0) 차 및 (1,1)차 복소수 미분 형식들의 공간은 각각 무한 차원의 복소수 벡터 공간이다.

외부 링크

• “Holomorphic form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Complex form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Del bar operator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Dolbeault cohomology”. 《nLab》 (영어). 
• “Dolbeault complex”. 《nLab》 (영어). 
• “Dolbeault-Dirac operator”. 《nLab》 (영어).