멱급수

수학에서 멱급수(冪級數, 영어: power series) 또는 거듭제곱 급수는 주어진 변수를 거듭제곱한 항들의 무한급수(무한차 다항식)이자 중심이 같은 일련의 멱함수들을 항으로 하는 무한 급수이다.

정의

체 $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

주어진 $x_{0}\in \mathbb {K}$에 대하여, 중심 $x_{0}$의 멱급수(中心-冪級數, 영어: power series with respect to the center $x_{0}$)는 다음과 같은 꼴의 급수로 정의된다.^{:38, §2.4}

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots$

여기서

$a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K}$

이다. 특히, 중심이 0인 멱급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots$

는 자주 사용된다. 이 멱급수가 수렴하게 만드는 $x\in \mathbb {K}$의 집합

$\left\{x\in \mathbb {K} \colon \exists \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right\}$

을 이 멱급수의 수렴 영역(收斂領域, 영어: domain of convergence)이라고 한다.^:153 실수 멱급수의 경우 수렴 구간(收斂區間, 영어: interval of convergence)이라고 하기도 하고, 복소수 멱급수의 경우 수렴 원판(收斂圓板, 영어: disc of convergence)이라고 하기도 한다.

$r=\sup \left\{|x-x_{0}|\colon x\in \mathbb {K} \land \exists \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right\}\in [0,\infty ]$

를 이 멱급수의 수렴 반지름(收斂半-, 영어: radius of convergence)이라고 한다.

연산

사칙연산

중심이 같은 두 멱급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )$

$\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (b_{0},b_{1},b_{2},\dots \in \mathbb {K} )$

의 수렴 반지름이 $0<r,r'\leq \infty$라고 하자. 그렇다면, 형식적 멱급수로서의 합, 차, 곱

$\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})(x-x_{0})^{n}$

$\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}-b_{n})(x-x_{0})^{n}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k}\right)(x-x_{0})^{n}$

의 수렴 반지름은 모두

$\left[\min\{r,r'\},\infty \right]$

에 속하며, $r\neq r'$일 경우 합과 차의 수렴 반지름은 정확히 $\min\{r,r'\}$이다. 또한, 이들은 원래 두 멱급수의 수렴 영역의 교집합에서 각각 원래 두 멱급수의 합, 차, 곱으로 수렴한다.^{:60, §II.3, Theorem 3.1} 만약 $b_{0}\neq 0$일 경우, 형식적 멱급수로서의 몫

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad \left(c_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}},\;c_{1}={\frac {a_{0}-b_{1}c_{0}}{b_{0}}},\;c_{2}={\frac {a_{0}-b_{1}c_{1}-b_{2}c_{0}}{b_{0}}},\;\dots \right)$

의 수렴 반지름은

$[r'',\infty ]$

에 속한다. 여기서

$r''=\inf \left(\{r,r'\}\cup \left\{|x-x_{0}|\colon |x-x_{0}|<r'\land \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}=0\right\}\right)$

이다. 특히, $0<r''\leq \infty$이므로 수렴 반지름은 0보다 크다. 또한 이는 원래 두 멱급수의 수렴 영역과 스스로의 수렴 영역의 교집합으로부터 원래 둘째 멱급수의 영점을 제외한 집합에서 원래 두 멱급수의 몫으로 수렴한다.

합성

두 멱급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )$

$\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a_{0})^{n}\qquad (b_{0},b_{1},b_{2},\dots \in \mathbb {K} )$

의 수렴 반지름이 $0<r,r'\leq \infty$라고 하자. 그렇다면, 형식적 멱급수로서의 합성

$\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\sum _{j_{1},j_{2},\dotsc ,j_{k}\geq 1}^{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}b_{j_{1}}b_{j_{2}}\cdots b_{j_{k}}\right)(x-x_{0})^{n}$

의 수렴 반지름은

$[r'',\infty ]$

에 속한다. 여기서

$r''=\sup \left\{0<s<r\colon \forall x\in \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},s)\colon \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\in \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(a_{0},r')\right\}$

이다. 또한 이는 자신의 수렴 영역에서 원래 두 멱급수의 합성으로 수렴한다.

미분

멱급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )$

의 수렴 반지름이 $0<r\leq \infty$라고 하자. 그렇다면, 형식적 멱급수로서의 도함수

$\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(x-x_{0})^{n-1}$

의 수렴 반지름은 역시 $r$이다.^{:38, §2.4, Theorem 2, (iii)} 또한, 이는 수렴 영역의 내부 $\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)$에서 원래 멱급수의 도함수로 수렴한다. 만약 도함수 멱급수가 수렴 영역의 어떤 경계점 $\xi \in \partial \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)$에서 수렴한다면, 원래 멱급수 역시 $\xi$에서 수렴한다. 그러나 이에 대한 역은 일반적으로 성립하지 않는다.^{:221, §11.2}

중심의 변경

멱급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )$

의 수렴 반지름이 $0<r\leq \infty$라고 하자. 그렇다면, 임의의 수렴 영역 내부의 점 $x_{1}\in \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)$에 대하여, 중심 $x_{1}$의 멱급수

$\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=n}^{\infty }{\binom {k}{n}}a_{k}(x_{1}-x_{0})^{k-n}\right)(x-x_{1})^{n}$

의 수렴 반지름은

$[r-|x_{1}-x_{0}|,r+|x_{1}-x_{0}|]$

에 속하며, 새로운 멱급수는 원래 멱급수와 스스로의 수렴 영역의 교집합에서 원래 멱급수로 수렴한다.^{:69-70, §II.4}

성질

수렴 반지름

멱급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )$

의 수렴 반지름을 $r$라고 하자. 그렇다면, 이 멱급수는 열린 공

$\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)=\{x\in \mathbb {K} \colon |x-x_{0}|<r\}$

에서 절대 수렴하고 콤팩트 수렴하며,

$\{x\in \mathbb {K} \colon |x-x_{0}|>r\}$

의 모든 점에서 발산한다.^{:38, §2.4, Theorem 2, (i)(ii)} 특히, 만약 $r=0$일 경우 수렴 영역은 $\{x_{0}\}$이고, 만약 $r=\infty$일 경우 수렴 영역은 $\mathbb {K}$ 전체이다. 만약 $0<r<\infty$일 경우, 수렴 영역의 경계

$\partial \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)=\{x\in \mathbb {K} \colon |x-x_{0}|=r\}$

의 점에서 멱급수는 수렴할 수도, 발산할 수도 있다. 또한, 만약 멱급수가 수렴 영역의 경계점 $\xi \in \partial \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)$에서 수렴한다면, 멱급수는 선분

$\{(1-t)x_{0}+t\xi \colon t\in [0,1]\}$

에서 균등 수렴한다. 특히, 실수 멱급수는 전체 수렴 영역에서 콤팩트 수렴한다.

코시-아다마르 정리에 따르면, 수렴 반지름 $r$는 구체적으로 다음과 같다.^{:38-39, §2.4}

${\frac {1}{r}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$

아벨 극한 정리

 이 부분의 본문은 아벨 극한 정리입니다.

멱급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\qquad (x_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {K} )$

의 수렴 반지름이 $0<r<\infty$이고, 이 멱급수가 수렴 영역의 경계점 $\xi \in \partial \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)$에서 수렴한다고 하자. 아벨 극한 정리에 따르면, 임의의 $0<K<\infty$에 대하여,

$\lim _{{x\to \xi } \atop {{|x-x_{0}|<r} \atop {|\xi -x|\leq K(|\xi -x_{0}|-|x-x_{0}|)}}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(\xi -x_{0})^{n}$

이다.^{:41, §2.5, Theorem 3} 특히,

$\lim _{t\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(t(\xi -x_{0}))^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(\xi -x_{0})^{n}$

이 성립한다. 이에 따라, 실수 멱급수는 (수렴하는 경계점을 포함한) 수렴 영역 전체에서 연속 함수이며, 복소수 멱급수는 수렴하는 경계점 수렴 영역 내부의 다른 두 점을 꼭짓점으로 하는 임의의 닫힌 삼각형에서 연속 함수이다.

해석 함수와의 관계

열린집합의 모든 열린원판에서 중심이 열린원판의 중심인 수렴하는 멱급수로 전개되는 함수를 해석 함수라고 한다. 특히, 모든 멱급수는 수렴 영역의 내부에서 해석 함수이다. 만약 $\mathbb {K} =\mathbb {C}$일 경우, 해석 함수와 미분 가능 함수의 개념은 일치하며, 이를 다른 말로 정칙 함수라고도 한다. 그러나 만약 $\mathbb {K} =\mathbb {R}$일 경우, 모든 계의 도함수를 갖는 함수는 해석 함수보다 약한 개념이다.

연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {K}$에 정의된 해석 함수 $f\colon D\to \mathbb {K}$의 열린원판 $\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r)\subseteq D$에서의 멱급수 전개는 테일러 급수

$f(x)=\sum _{n=0}{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}\qquad (x\in \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r))$

로 유일하다. 만약 이 테일러 급수의 실제 수렴 반지름 $r'$이

$\inf _{x\in \partial D}|x-x_{0}|<r'\leq \infty$

를 만족시키고, $D\cap \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r'')$이 연결 열린집합이 되는

$\inf _{x\in \partial D}|x-x_{0}|<r''<r'$

이 존재한다면, $f$는 $x_{0}$에서의 멱급수 전개를 통해 $D$를 포함하는 더 큰 연결 열린집합 $D\cup \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r'')$ 위의 해석 함수로 확장될 수 있다. 즉, $D\cup \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r'')$ 위에서 $f$의 해석적 연속이 존재한다. 주어진 해석 함수가 주어진 더 큰 정의역 위에서 해석적 연속을 갖는다면 이는 유일하다. 그러나 만약 $\mathbb {K} =\mathbb {C}$일 경우, 위와 같은 확장 과정을 어떤 닫힌 곡선을 따라 반복하면 일반적으로 다가 함수를 얻는다. (이 과정을 닫힌 곡선을 따라 반복하려면, $D\cup \operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r'')$에 정의된 함수를 확장하는 것이 아니라, $\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(x_{0},r'')$에 정의된 함수를 확장하여야 하며, 다음 단계들도 마찬가지다.) 일가 함수를 얻을 한 가지 충분 조건은 모노드로미 정리에서 제시된다.

특이점

복소수 멱급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}\qquad (z_{0},a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {C} )$

의 수렴 반지름이 $0<r<\infty$이라고 하자. 그렇다면, 이 멱급수는 특이 경계점을 갖는다. 즉, $\operatorname {ball} _{\mathbb {C} }(z_{0},r)\cup \{\zeta \}$의 근방 위에서 이 멱급수의 해석적 연속이 존재하지 않는 $\zeta \in \partial \operatorname {ball} _{\mathbb {C} }(z_{0},r)$가 존재한다.^{:320, Theorem 16.2}

응용

상미분 방정식의 풀이

 이 부분의 본문은 프로베니우스 방법입니다.

위의 식을 이용해 다음의 미분 방정식을 풀 수 있다.

$y''+p\left(x\right)y'+q\left(x\right)y=r\left(x\right)$

를 만족시키는 y를 거듭제곱 급수 형태로 가정하고 풀어낸다. 단, $p\left(x\right),q\left(x\right),r\left(x\right)$가 $x=x_{o}$에서 해석적(analytic)이어야 한다.

각주

• Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》 8판. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2. 

외부 링크

• 이철희. “멱급수”. 《수학노트》. 
• “Power series”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Power series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.