군의 표시

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군론에서, 군의 표시(表示, 영어: presentation)는 주어진 군을 생성원과 이들 사이의 관계식들을 통해 구체적으로 적는 방법이다.

정의

표시는 다음과 같은 순서쌍 $\langle S|R\rangle$이다.

• $S$는 집합이다.
• $R\subset \operatorname {Free} (S)$는 $S$ 및 $^{-1}$로 구성되는 유한 문자열들의 집합이다.

이 순서쌍에 의하여 표시되는 군은 다음과 같다.

$\langle S|R\rangle =\operatorname {Free} (S)/\operatorname {Free} (S)^{-1}R\operatorname {Free} (S)$

여기서

• $\operatorname {Free} (S)$는 $S$로부터 생성되는 자유군이다.
• $\operatorname {Free} (S)^{-1}R\operatorname {Free} (S)$는 $R$를 포함하는 $\operatorname {Free} (S)$의 최소의 정규 부분군이다. 이는 $R$와 $R^{-1}$의 켤레 원소들의 유한 곱들로 구성된다.

성질

표시된 두 군 $\langle S|R\rangle$, $\langle T|Q\rangle$의 자유곱은 다음과 같다.

$\langle S|R\rangle *\langle T|Q\rangle =\langle S\cup T|R\cup Q\rangle$

표시된 두 군 $\langle S|R\rangle$, $\langle T|Q\rangle$의 직접곱은 다음과 같다.

$\langle S|R\rangle \times \langle T|Q\rangle =\langle S\cup T|R\cup Q\cup \{rqr^{-1}q^{-1}\colon r\in R,\;q\in Q\}\rangle$

예

대표적인 군들의 표시는 다음과 같다.

군	표시	비고
자명군	$\langle |\rangle$
자유군	$\langle S|\rangle$	집합 $S$에 대하여, $S$로부터 생성되는 자유군
자유 아벨 군	$\langle S|\{aba^{-1}b^{-1}\colon a,b\in S\}\rangle$	계수가 $|S|$인 자유 아벨 군
순환군 $Z_{n}$	$\langle a|a^{n}\rangle$
대칭군 $\operatorname {Sym} (n)$	$\langle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}|\sigma _{i}^{2},\;\sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{i}^{-1}\sigma _{j}^{-1}\;(j\neq i\pm 1),\;(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}\rangle$
정사면체군	$\langle s,t|s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle$
정팔면체군	$\langle s,t|s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle$
정이십면체군	$\langle s,t|s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle$
사원수군	$\langle i,j|jiji^{-i},ijij^{-1}\rangle$

외부 링크

• “Presentation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group presentation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Group presentation”. 《nLab》 (영어). 
• “Presentation of a group”. 《Groupprops》 (영어).