広義の記数法

この項では基本的な位取り記数法を除く、負の数や虚数を含む記数法等について述べる。 ここでは仮数とは、その位に記された数のこととし、 底（てい）とは、その位の一つ上の位の値が持つ、その位に対する重みの倍率とする。

標準的な記数法

この節では、底が一定で冗長でない記数法について説明する。

書き方は位取り記数法と同じく、底が K であれば、数

$\cdots +c_{2}K^{2}+c_{1}K^{1}+c_{0}K^{0}+c_{-1}K^{-1}+c_{-2}K^{-2}+\cdots$

を

$\cdots c_{2}c_{1}c_{0}c_{-1}c_{-2}\cdots$

のように仮数を書き並べることで表記できる。この記法では、n を自然数とすると

$10^{n}=1\overbrace {0\cdots 0} ^{n}$

が成り立つ。一般的に位取り記数法と呼ばれるものは、0 から N − 1 までの N 個の整数を仮数にもつ底が N の表記法のことである。これは任意の 0 以上の実数を無限に近似できるが、その他の数を表記するには演算子が必要となる。

中には底が自然数でないものも考えられている。コンピュータでは二進法を用いている場合がほとんどだが、符号の扱いが難しい。そこで、底を −2 とした記法が考えられた。この方法では、0 と 1 を用いてすべての整数を表すことが出来る。その他に複素数を表記するため、−1 + i を底としたものも考えられている（i は虚数単位）。これらはドナルド・クヌースにより考案されたが、演算が複雑なため実際に用いられることは稀である。

自然数を表記するもの

仮数が N 通りであるものの、0 を含まずに 1 から N までを使用するのがBijective numerationである。この表記法で整数の 0 を表そうとすると空文字列になってしまう。また、途中の桁を 0 にすることはできない。N=26 である A, B, ..., Z, AA, AB, ... のような形式が、表計算ソフトの列名などで用いられている。N=1 とすると一進法となる。

実数を表記するもの

仮数が N 通りであれば、底は ±N となる。

任意の実数を表記できるものとして、次の例が考えられる。

名前	仮数	底	一桁の演算で繰り上がる確率		除算
			加算	乗算
マイナス二進法 (en:Negabinary)	0, 1	−2	1/4	0/4	可
なし[B]	−2, −1, 0, 1	4	4/16	3/16	可
平衡三進法 (balanced ternary) [C]	−1, 0, 1	3	2/9	0/9	可
マイナス三進法 (en:Negatrinary)  [D]	0, 1, 2	−3	3/9	1/9	可
なし[E]	−3, −1, 0, 1, 3	5	12/25	4/25	不可

複素数を表記するもの

i は虚数単位とする。仮数が n 通りであれば、底の絶対値は${\sqrt {n}}$となる。

任意の複素数を表記できるものとして、次の例が考えられる。

名前	仮数	底	一桁の演算で繰り上がる確率		除算
			加算	乗算
なし	0, 1	−1+i	1/4	0/4	不可
なし	0, 1	${\sqrt {2}}\,i$	1/4	0/4	可
なし	0, 1, $\textstyle -{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$, $\textstyle -{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$	−2	9/16	0/16	不可
なし	−1+i, i, 1+i, −1, 0, 1, −1−i, −i, 1−i	3	32/81	16/81	可
2i進法（英語: Quater-imaginary base）	0, 1, 2, 3	2i	6/16	4/16	可
なし	i, −1, 0, 1, −i	2+i	12/25	0/25	不可

注釈

冗長な記数法

ここでは、小数点から上に数えて n番目の位を n-1番位と呼ぶことにする。 例えば二進法では、n番位の重みは 2ⁿ である。

次に例を挙げる。

• 冗長二進法 (redundant binary representation, RB) とは、符号付二進法 (signed-digit, SD) の一種で、 -1, 0, 1 を仮数に持ち、底を 2 とした記数法である。任意の実数はこの表現を無限に持つ。
• 非隣接形式 (non-adjacent form, NAF) [F] とは、冗長二進法において隣接する二つの位の少なくとも一方の仮数を 0 としたものであり、符号付二進法の一種である。この記法による表現は任意の整数に対して一つだけ存在する。この表記方法は通常の二進法と比較して、仮数が 0 の位が多く乗法や指数演算の処理速度が速い。応用例としては、楕円曲線上のスカラー倍算を効率的に計算する方法が知られている。
• 相互交代形式 (mutual opposite form, MOF) [G] とは、冗長二進法において、0 を除くと 1 と -1 が交互に並び最上位が 1 で最下位が -1 としたものであり、符号付二進法の一種である。この記法による表現は任意の自然数に対して一つだけ存在する。 2004 年 8 月 23 日に、日立製作所により発表された。
• 0, 1 を仮数に持ち、底を黄金比 φ とし、隣り合う二つの位の少なくとも一方の仮数を 0 とした記数法 (golden ratio base, 黄金進法) [K] がある。この記法では各位で、11 = 100 および 1 + 1 = 10.01 が成り立つ。また十進法で表記された数${\sqrt {5}}$は、この記法では 10.1 と表記できることにも注意したい。

複数の底の混在

→「en:Mixed radix」も参照

表記法の内部で底 N が一定であれば各桁の重みは N の冪乗となるが、ここではそれに限定しない表記法を述べる。

• 桁数が制限された二進法の、最上位の一つ下の位の底を -2 とした表記法 [H] による表記は2の補数表記と一致する。
• 二五進法 [I] とは、偶数番位は仮数が 0, 1, 2, 3, 4 で底が 5 、奇数番位は仮数が 0, 1 で底が 2 である記数法である。これは十進法の一つの位を二つに分割した形となっており、そろばんではこれが使用されている。
• 階乗進法 (factoradic) [J] とは、0番位は仮数が 0 で底が 1 、 1番位は仮数が 0, 1 で底が 2 、 2番位は仮数が 0, 1, 2 で底が 3 、 3番位は仮数が 0, 1, 2, 3 で底が 4 、…とした記数法である。また、この記法の拡張として、 -1番位は仮数が 0, 1 で底が 2 、 -2番位は仮数が 0, 1, 2 で底が 3 、…とした記数法があり、これには任意の有理数を有限小数で表記できるという特徴がある。なお n番位の重みは、 n≧0 ならば n の階乗、 n＜0 ならば -n+1 の階乗の逆数となる。
• 時間の表記法の各単位を桁とみなすと、例えば32週5日7時間45分の各桁の重みは、週: 10080 分、日: 1440 分、時間: 60 分と言うことができる。

対応表

ここでは -n を${\bar {n}}$と表記する。 他には、WWW との適合性のため -n を n と書いたり、 ${\bar {1}}$を単に T と書く手法もある。

十進法	[A]	[B]	[C]	[D]	[E]	[F]	[G]	[H]	[I]	[J]	[K]
-16	110000	${\bar {1}}$00	${\bar {1}}$11${\bar {1}}$	1102	${\bar {3}}$${\bar {1}}$	${\bar {1}}$0000		10000
-15	110001	${\bar {1}}$01	${\bar {1}}$110	1220	${\bar {3}}$0	${\bar {1}}$0001		10001
-14	110110	${\bar {1}}$1${\bar {2}}$	${\bar {1}}$111	1221	${\bar {3}}$1	${\bar {1}}$0010		10010
-13	110111	${\bar {1}}$1${\bar {1}}$	${\bar {1}}$${\bar {1}}$${\bar {1}}$	1222	${\bar {1}}$3${\bar {3}}$	${\bar {1}}$010${\bar {1}}$		10011
-12	110100	${\bar {1}}$10	${\bar {1}}$${\bar {1}}$0	1210	${\bar {3}}$3	${\bar {1}}$0100		10100
-11	110101	${\bar {1}}$11	${\bar {1}}$${\bar {1}}$1	1211	${\bar {1}}$3${\bar {1}}$	${\bar {1}}$0101		10101
-10	1010	${\bar {2}}$${\bar {2}}$	${\bar {1}}$0${\bar {1}}$	1212	${\bar {1}}$30	${\bar {1}}$0${\bar {1}}$0		10110
-9	1011	${\bar {2}}$${\bar {1}}$	${\bar {1}}$00	1200	${\bar {1}}$31	${\bar {1}}$00${\bar {1}}$		10111
-8	1000	${\bar {2}}$0	${\bar {1}}$01	1201	${\bar {1}}$${\bar {3}}$	${\bar {1}}$000		11000
-7	1001	${\bar {2}}$1	${\bar {1}}$1${\bar {1}}$	1202	${\bar {1}}$33	${\bar {1}}$001		11001
-6	1110	${\bar {1}}$${\bar {2}}$	${\bar {1}}$10	20	${\bar {1}}$${\bar {1}}$	${\bar {1}}$010		11010
-5	1111	${\bar {1}}$${\bar {1}}$	${\bar {1}}$11	21	${\bar {1}}$0	${\bar {1}}$0${\bar {1}}$		11011
-4	1100	${\bar {1}}$0	${\bar {1}}$${\bar {1}}$	22	${\bar {1}}$1	${\bar {1}}$00		11100
-3	1101	${\bar {1}}$1	${\bar {1}}$0	10	${\bar {3}}$	${\bar {1}}$01		11101
-2	10	${\bar {2}}$	${\bar {1}}$1	11	${\bar {1}}$3	${\bar {1}}$0		11110
-1	11	${\bar {1}}$	${\bar {1}}$	12	${\bar {1}}$	${\bar {1}}$		11111
0	0	0	0	0	0	0		00000	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1${\bar {1}}$	00001	1	10	1
2	110	1${\bar {2}}$	1${\bar {1}}$	2	1${\bar {3}}$	10	1${\bar {1}}$0	00010	2	100	10.01
3	111	1${\bar {1}}$	10	120	3	10${\bar {1}}$	10${\bar {1}}$	00011	3	110	100.01
4	100	10	11	121	1${\bar {1}}$	100	1${\bar {1}}$00	00100	4	200	101.01
5	101	11	1${\bar {1}}$${\bar {1}}$	122	10	101	1${\bar {1}}$1${\bar {1}}$	00101	10	210	1000.1001
6	11010	1${\bar {2}}$${\bar {2}}$	1${\bar {1}}$0	110	11	10${\bar {1}}$0	10${\bar {1}}$0	00110	11	1000	1010.0001
7	11011	1${\bar {2}}$${\bar {1}}$	1${\bar {1}}$1	111	1${\bar {3}}$${\bar {3}}$	100${\bar {1}}$	100${\bar {1}}$	00111	12	1010	10000.0001
8	11000	1${\bar {2}}$0	10${\bar {1}}$	112	13	1000	1${\bar {1}}$000	01000	13	1100	10001.0001
9	11001	1${\bar {2}}$1	100	100	1${\bar {3}}$${\bar {1}}$	1001	1${\bar {1}}$01${\bar {1}}$	01001	14	1110	10010.0101
10	11110	1${\bar {1}}$${\bar {2}}$	101	101	1${\bar {3}}$0	1010	1${\bar {1}}$1${\bar {1}}$0	01010	100	1200	10100.0101
11	11111	1${\bar {1}}$${\bar {1}}$	11${\bar {1}}$	102	1${\bar {3}}$1	10${\bar {1}}$0${\bar {1}}$	1${\bar {1}}$10${\bar {1}}$	01011	101	1210	10101.0101
12	11100	1${\bar {1}}$0	110	220	3${\bar {3}}$	10${\bar {1}}$00	10${\bar {1}}$00	01100	102	2000	100000.101001
13	11101	1${\bar {1}}$1	111	221	1${\bar {3}}$3	10${\bar {1}}$01	10${\bar {1}}$1${\bar {1}}$	01101	103	2010	100010.001001
14	10010	10${\bar {2}}$	1${\bar {1}}$${\bar {1}}$${\bar {1}}$	222	3${\bar {1}}$	100${\bar {1}}$0	100${\bar {1}}$0	01110	104	2100	100100.001001
15	10011	10${\bar {1}}$	1${\bar {1}}$${\bar {1}}$0	210	30	1000${\bar {1}}$	1000${\bar {1}}$	01111	110	2110	100101.001001

演算

標準的な記数法の上での、加法、減法、乗法、除法の算法について説明する。

加法、減法、乗法

加法と乗法については、あらかじめ各仮数同士の計算結果を表にしておき、それを見ながら計算すればよい。 加算時の繰り上がりは上の位にさらに足すことや、二桁以上の乗算については、 $10^{n}=1\overbrace {0\cdots 0} ^{n}$が成り立つことに注意して計算を実行していく。 減法については表を作ってもよいが、 引く数に -1 を掛けてから引かれる数に足すという方法も考えられる。

例として、底が 4 で仮数に -2, -1, 0, 1 を持つ記数法の、加算と減算と乗算の表を次に示す。

加算 + ${\bar {2}}$ ${\bar {1}}$ 0 1 ${\bar {2}}$ ${\bar {1}}$0 ${\bar {1}}$1 ${\bar {2}}$ ${\bar {1}}$ ${\bar {1}}$ ${\bar {1}}$1 ${\bar {2}}$ ${\bar {1}}$ 0 0 ${\bar {2}}$ ${\bar {1}}$ 0 1 1 ${\bar {1}}$ 0 1 1${\bar {2}}$

減算 (左－上) － ${\bar {2}}$ ${\bar {1}}$ 0 1 ${\bar {2}}$ 0 ${\bar {1}}$ ${\bar {2}}$ ${\bar {1}}$1 ${\bar {1}}$ 1 0 ${\bar {1}}$ ${\bar {2}}$ 0 1${\bar {2}}$ 1 0 ${\bar {1}}$ 1 1${\bar {1}}$ 1${\bar {2}}$ 1 0

乗算 × ${\bar {2}}$ ${\bar {1}}$ 0 1 ${\bar {2}}$ 10 1${\bar {2}}$ 0 ${\bar {2}}$ ${\bar {1}}$ 1${\bar {2}}$ 1 0 ${\bar {1}}$ 0 0 0 0 0 1 ${\bar {2}}$ ${\bar {1}}$ 0 1

除法

底を K とした K進法の上で R を D で割る手順を説明する。 記数法によって決まる、一桁の商を示す二変数関数 Q_K が分かっているとし、 十分に大きな整数 n をとり、次の計算を行う。

                          rn=R
  cn=QK(rn  , DKn )   rn-1=  rn-cnDKn
cn-1=QK(rn-1, DKn-1)   rn-2=rn-1-cn-1DKn-1
cn-2=QK(rn-2, DKn-2)   rn-3=rn-2-cn-2DKn-2

......

  c0=QK(r0  , D   )    r-1=  r0-c0D

底が -1+i で 0, 1 を仮数に持つ記数法により 0.XXX... の形で表記できる範囲。ツインドラゴン曲線と酷似する。

商は K進法で c_nc_n-1…c₀ となり、 余りは r_-1 となる。 ただし記数法によっては、 0.XXX... の形で表記できる範囲がフラクタルを描くため Q_K が作れなくなり、除算が不可能となる。 またこの操作をさらに続けると、循環小数が商として得られる。

Q(r, d) の例を次に示す。

• 十進法

d≦0 または r＜0 または 10d≦r は禁止で、
0≦r＜d ならば Q(r, d)=0
d≦r＜2d ならば Q(r, d)=1
2d≦r＜3d ならば Q(r, d)=2
......
8d≦r＜9d ならば Q(r, d)=8
9d≦r＜10d ならば Q(r, d)=9 となる。

• 底が -2 で仮数に 0, 1 を持つ記数法

d=0 または (r＜-2d/3 かつ r＜4d/3) または (-2d/3＜r かつ 4d/3＜r) は禁止で、
d/3＜r≦4d/3 または 4d/3≦r＜d/3 ならば Q(r, d)=1
-2d/3≦r≦d/3 または d/3≦r≦-2d/3 ならば Q(r, d)=0 となる。

• 平衡三進法

d=0 または (r＜-3d/2 かつ r＜3d/2) または (-3d/2＜r かつ 3d/2＜r) は禁止で、
d/2＜r≦3d/2 または 3d/2≦r＜d/2 ならば Q(r, d)=1
-d/2≦r≦d/2 または d/2≦r≦-d/2 ならば Q(r, d)=0
-3d/2≦r＜-d/2 または -d/2＜r≦-3d/2 ならば Q(r, d)=-1 となる。

記法の変換方法

標準的な記数法に対しての、数の表記法を変換する方法を説明する。

十進法からの変換（整数部分）

余りが仮数に含まれるように底で割っていく方法がある。この方法では下位の仮数から求まる。

例えば十進法で表記された数3620を平衡三進法に変換すると、

3620 ÷ 3 = 1207 . . . -1
1207 ÷ 3 =  402 . . .  1
 402 ÷ 3 =  134 . . .  0
 134 ÷ 3 =   45 . . . -1
  45 ÷ 3 =   15 . . .  0
  15 ÷ 3 =    5 . . .  0
   5 ÷ 3 =    2 . . . -1
   2 ÷ 3 =    1 . . . -1
   1 ÷ 3 =    0 . . .  1

から平衡三進法では 1${\bar {1}}$${\bar {1}}$00${\bar {1}}$01${\bar {1}}$ と表記できる。

また、基本的には複素数を表記する記数法ではこの変換は難しいが、 底が -1+i で仮数に 0, 1 を持つ記数法では、比較的簡単に計算できる。 ある複素数 x+yi に対して (x, y は整数) 、

(x + yi) ÷ (-1 + i) = p + qi . . . c

となる整数 p, q と仮数 c を求める。この式を変形すると、

${\frac {-x+y+c}{2}}=p\qquad {\frac {-x-y+c}{2}}=q$

の 2 式が得られる。 x+y が奇数なら -x+y, -x-y も奇数なので p, q が整数であることに注意すると、 x+y が奇数のとき c=1 、偶数のとき c=0 がわかる。

十進法からの変換（小数部分）

上にある除法の節の Q_K を利用し、次の計算を行う。 変換前の十進数を R とする。

                r0=R
c0=QK(r0, 1)   r1=K×(r0-c0)
c1=QK(r1, 1)   r2=K×(r1-c1)
c2=QK(r2, 1)   r3=K×(r2-c2)
......

これにより、 R は K進法で c₀.c₁c₂c₃... と表記できる。

十進法への変換（整数部分）

上位より仮数を足してから底を掛けていく方法がある。

例えば 0, 1 を仮数に持ち、底を -2 とした記数法で表記された数 1101101 を十進法に変換すると、

  0+1=  1    1×(-2)= -2
 -2+1= -1   -1×(-2)=  2
  2+0=  2    2×(-2)= -4
 -4+1= -3   -3×(-2)=  6
  6+1=  7    7×(-2)=-14
-14+0=-14  -14×(-2)= 28
 28+1= 29

から十進法では 29 と表記できる。

十進法への変換（有限小数部分）

上位より仮数を足してから底を掛けていき、最下位の仮数を足したら、 それに最下位の重みを掛けるという方法がある。

十進法への変換（循環小数部分）

次の式を利用して変換できる。 ${\frac {1}{e}}+{\frac {1}{e^{2}}}+{\frac {1}{e^{3}}}+\cdots ={\frac {1}{e-1}}$ 　　　　　(|e|＞1)

位の統合と分割

二つの記数法があるとし、それぞれの底が n, n^k となっており、 底が n の方で k桁で表される全ての数が、底が n^k の方では 1桁で表される時、 その対応により、各位を変換するだけで任意の数を変換することができる。 例えば、0, 1 を仮数に持つ底が -2 の記数法 [A] と、 -2, -1, 0, 1 を仮数に持つ底が 4 の記数法 [B] は、 10 と${\bar {2}}$ 、11と${\bar {1}}$ 、00 と 0 、01 と 1 が対応しているので、 例えば [A] で表記された 100011011 の二つの位を一つに統合すると、 101${\bar {2}}$${\bar {1}}$ となり [B] での表記が得られる。

詳しい定義

各用語の詳しい定義を紹介する。

0 を含む連続した整数の集合 z をとり、その元を位(あるいは桁)と呼ぶ。 特定の位をさしたいときには、0番位や 1番位と単位をつけることにする。 そして、任意の n∈z に対して空でない実数の有限集合 m_n をとり、 その元を n番位の仮数と呼ぶ。そして、任意の n∈z に対して実数 K_n を定め、 この K_n を n番位の重み(あるいは意味)と呼び、 K_n+1/K_n を n番位の底(あるいは基数)と呼ぶ。 これらをもとに数を表す方法を記数法(あるいは位取り記数法)という ( m_n の元や K_n は複素数でもよい)。 この z, m_n, K_n による記数法をK進法(あるいは K進記数法)とする。

集合 M_K={$\sum _{n\in z}C_{n}K_{n}$|C_i∈m_i, i∈z} をとったとき、任意の ε＞0 に対して |X-Y|＜ε となる Y∈M_K が存在することを、 K進法で X を表記できるという。

ε を 0 に近づけたときの、 M_K の元の極限 $\sum _{n\in z}C_{n}K_{n}$を X の K進展開 と呼び、これを ...C₂C₁C₀.C_-1C_-2... と書いたものを X の K進表記(あるいは X の K進表現、あるいは X を意味する K進数)と呼ぶ。 このとき、0番位以外で仮数が 0 の位が無限に続く部分は省略するが、 省略されずに残った位の個数を桁数と呼ぶ(助数詞は桁)。

ある記数法において、ある（あるいは、全ての）整数について表記法が複数あるような場合を、冗長であるという。

関連項目

• 位取り記数法
• p進数
• 命数法

注・参考文献

• 伊東規之『マイクロコンピュータの基礎』日本理工出版会 ISBN 9784890194322