冪集合公理

数学における冪集合公理（べきしゅうごうこうり、英: axiom of power set）とは、公理的集合論のツェルメロ＝フレンケルの公理系の一つである。

ツェルメロ＝フレンケルの公理系の形式言語において、この公理は次のように記述される：

\forall A\,\exists P\,\forall B\,[B\in P\iff \forall C\,(C\in B\Rightarrow C\in A)]

ここで P は A の冪集合 ${\mathcal {P}}(A)$ を表す。この公理を通常の言葉で言い直すと、次のようになる：

任意の集合 A が与えられたとき、ある集合

{\mathcal {P}}(A)

が存在し、 B のすべての元が A の元でもあるとき、またそのときに限り、 B が

{\mathcal {P}}(A)

に属する。

部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。実際、公理はお互い独立なものでなければならない。外延性公理により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。

冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、構成的集合論（英語版）においては可述性（predicativity）に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。

帰結

冪集合公理は、二つの集合 $X$ と $Y$ に対し、次のようなデカルト積の簡単な定義を許す：

X\times Y=\{(x,y);\ x\in X\land y\in Y\}.

ここで

x,y\in X\cup Y,

\{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y),

(x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))

であり、

X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))

であるため、このデカルト積は集合であることに注意されたい。

任意の有限集合の類に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る：

X_{1}\times \cdots \times X_{n}:=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.

デカルト積の存在は、クリプキ＝プラテクの集合論（英語版）におけるように、冪集合公理を用いなくても証明できることに注意されたい。

Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.