正方行列

正方行列（せいほうぎょうれつ、英: square matrix）とは、行要素の数と列要素の数が一致する行列である。サイズが n × n つまり、n 行 n 列であるとき、n 次正方行列という。

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

性質

• 同じサイズの正方行列の全体には加法・乗法が定義可能で、環をなす。（これは行列のサイズが n × n のとき n 次の全行列環と呼ばれる。）
  • 可換環上 1 次の場合（スカラー）をのぞいて、全行列環は非可換。
  • 実数体 R 上で定義された 2 次の全行列環は複素数体 C と同型な部分体を含む。
  • 複素数体 C 上定義された 2 次の全行列環あるいは R 上定義された 4 次の全行列環は、四元数体 H に同型な部分斜体を含む。
• 可換環上で定義される正方行列には行列式を定義できる。
• 単元と冪等元の積として書ける。

正方行列に対して定義されているもの

正方行列に対して定義されているものを以下に示す。

• 逆行列 - (逆元#逆行列・擬逆行列、可逆元参照)
• 行列式
• 固有値
• 特異値
• トレース

特異値を除くと、通常これらは正方行列でのみ定義されている。

特殊な正方行列

• 三角行列 - 対角行列 - 単位行列
• エルミート行列 - 対称行列
• 正則行列 - 逆行列
• ユニタリ行列 - 直交行列

関連項目

• 線型代数学

外部リンク

• 『正方行列』 - コトバンク