クリーネ閉包
クリーネ閉包（くりーねへいほう、英: Kleene closure）は、形式言語とオートマトンの理論において、ある演算の繰り返しが「生成」するシンボルないし文字の列（文字列）の集合である。また、この繰り返しの単項演算子をクリーネスター（英: Kleene star）という。
集合 V に対するクリーネ閉包の適用は、V* と表す。スティーヴン・コール・クリーネがある種のオートマトンを特徴付けるために導入した方法である、正規表現でよく用いられる。
例
編集文字列の集合に適用されるクリーネ閉包の例：
- {"ab", "c"}* = {ε, "ab", "c", "abab", "abc", "cab", "cc", "ababab", "ababc", "abcab", "abcc", "cabab", "cabc", "ccab", "ccc", ...}
文字の集合に適用されるクリーネ閉包の例：
- {'a', 'b', 'c'}* = {ε, "a", "b", "c", "aa", "ab", "ac", "ba", "bb", "bc", ...}
一般化
編集クリーネ閉包はしばしば、以下のようなモノイド (M, .) 、つまり以下の条件を満たす集合 M と M 上の二項演算「.」として一般化される。
- （閉包）あらゆる a、b ∈ M に対し、a . b ∈ M
- （結合法則）あらゆる a、b 、c ∈ M に対し、(a . b) . c = a . (b . c)
- （単位元）ある ε ∈ M が存在して、あらゆる a ∈ M で a . ε = ε . a = a
V が M の部分集合であるとき、V* は ε（空文字列）を含み、演算に閉じているような最小の集合である。このとき V* それ自身もモノイドになり、「V によって生成されたモノイド」という。シンボルの集合上の（二項演算としての文字列連結による）あらゆる文字列の集合はモノイドを成すから、これはクリーネ閉包の一般化である。