「ホモロジー代数学」の版間の差分
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''d''<sub>''n''+1</sub> o ''d''<sub>''n''</sub> = 0 for all ''n''.
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''C''<sub>''n''</sub> の元は ''n''-'''チェイン'''（''n''-chain）と呼ばれ、準同型 ''d''<sub>''n''</sub> は'''バウンダリ写像''' (boundary map) や'''微分''' (differential) と呼ばれる。'''チェイン群''' (chain group) ''C''<sub>''n''</sub> は余分な構造をもっているかもしれない。例えば、[[ベクトル空間]]や、固定された[[環 (数学)|環]] ''R'' 上の[[環上の加群|加群]]かもしれない。微分は余分な構造もそれが存在するならば保たなければならない。例えば、[[線型写像]]や ''R''-加群の準同型でなければならない。表記の都合のため、アーベル群（より正確には、アーベル群の[[圏]] '''Ab'''）に注意を制限しよう。{{仮リンク|Mitchell の埋め込み定理|label=Barry Mitchell による名高い定理|en|Mitchell's embedding theorem}}によって、結果は任意の[[アーベル圏]]に一般化される。すべてのチェイン複体はさらに2つのアーベル群の列を定義する。'''サイクル''' (cycle) ''Z''<sub>''n''</sub> = Ker ''d''<sub>''n''</sub> と'''バウンダリ''' (boundary) ''B''<sub>''n''</sub> = Im ''d''<sub>''n''+1</sub> である。ただし Ker ''d'' と Im ''d'' は ''d'' の[[核 (代数学)|核]]と[[像 (数学)|像]]を表す。2つの連続するバウンダリ写像の合成は 0 なので、これらの群は互いの中に次のように埋め込まれている。
: <math> B_n \subseteq Z_n \subseteq C_n. </math>
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[[群論]]の文脈では、[[群 (数学)|群]]と[[群準同型]]の列
:<math>G_0 \;\xrightarrow{f_1}\; G_1 \;\xrightarrow{f_2}\; G_2 \;\xrightarrow{f_3}\; \cdots \;\xrightarrow{f_n}\; G_n</math>
は、次のようなときに'''完全''' (exact) という。各準同型の[[像 (数学)|像]]（あるいは[[値域]]）が次の準同型の[[核 (代数学)|核]]に等しい。
:<math>\mathrm{im}(f_k) = \mathrm{ker}(f_{k+1}).\!</math>
群と準同型の列の長さは有限でも無限でもよいことに注意する。
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[[File:Snake lemma origin.svg]]
を考える。ただし2つの列は[[完全列|完全]]で、0 は[[零対象]]である。すると ''a'', ''b'', ''c'' の[[核 (代数学)|核]]や[[余核]]に関連した完全列
<math>\ker a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker c \; \overset{d}{\longrightarrow} \operatorname{coker}a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}c</math>
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