Teorema di Gel'fond-Schneider

In matematica, il teorema di Gel'fond-Schneider è un teorema che stabilisce la trascendenza di una grande classe di numeri e risolve così il settimo problema di Hilbert.

Fu dimostrato indipendentemente nel 1934 dal matematico Aleksandr Osipovič Gel'fond e da Theodor Schneider.

Enunciato

Il teorema afferma che dati due numeri complessi a algebrico diverso da 0 e da 1 e b non razionale e algebrico, ogni valore di $a^{b}$ è trascendente, cioè non è la radice di nessun polinomio a coefficienti interi. Per esempio il teorema afferma la trascendenza di numeri come $3^{\sqrt {2}}$, ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$, ma anche (essendo i algebrico e "non razionale") di $2^{i}$ o di $i^{i}$.

Il teorema è in generale falso se b è (irrazionale) trascendente, come ad esempio nel caso di $a=2$ e $b={\frac {\log 3}{\log 2}}$ ($a^{b}=3$ è chiaramente non trascendente). Casi come $e^{e}$, $\pi ^{\pi }$ o $\pi ^{e}$ sono dunque tuttora aperti. Curiosamente però si sa in base al teorema di Gel'fond che $e^{\pi }$ (nota come costante di Gel'fond) è trascendente visto che $e^{\pi }$ si può scrivere anche come $e^{\pi }=i^{-2i}$ a cui il teorema è applicabile.

Collegamenti esterni

• (EN) Gelfond’s theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Gel'fond-Schneider, su MathWorld, Wolfram Research.