In matematica e meccanica classica , una parentesi di Poisson , introdotta nel 1809 da Siméon-Denis Poisson , è un'operazione binaria che riveste un ruolo di primo piano nella meccanica hamiltoniana , essendo sfruttata nelle equazioni di Hamilton del moto che descrivono l'evoluzione temporale di un sistema dinamico hamiltoniano. Si tratta di un caso particolare della parentesi di Jacobi .
In generale la parentesi di Poisson viene utilizzata per definire un'algebra di Poisson , di cui l'algebra delle funzioni definite su una varietà di Poisson sono un caso speciale.
Si tratta di una costruzione differenziale della forma:
{
u
,
v
}
=
∑
i
=
1
n
(
∂
u
∂
q
i
∂
v
∂
p
i
−
∂
u
∂
p
i
∂
v
∂
q
i
)
{\displaystyle \lbrace u,v\rbrace =\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}\right)}
dove
u
(
q
,
p
)
{\displaystyle u(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}
v
(
q
,
p
)
{\displaystyle v(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}
2
n
{\displaystyle 2n}
q
=
(
q
1
,
…
,
q
n
)
{\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\dots ,q_{n})}
p
=
(
p
1
,
…
,
p
n
)
{\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\dots ,p_{n})}
prodotto scalare simplettico tra i gradienti di due funzioni.
Si può dimostrare facilmente che per qualsiasi funzione
u
{\displaystyle u}
{
u
,
u
}
=
0
{\displaystyle \lbrace u,u\rbrace =0}
e la parentesi di Poisson con una qualsiasi costante
k
{\displaystyle k}
{
u
,
k
}
=
0
{\displaystyle \lbrace u,k\rbrace =0}
Le parentesi di Poisson sono forme bilineari anticommutative nei due argomenti
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
{
u
,
v
}
=
−
{
v
,
u
}
{\displaystyle \lbrace u,v\rbrace \,=\,-\lbrace v,u\rbrace }
Inoltre dalle proprietà del calcolo differenziale segue:
{
u
+
v
,
w
}
=
{
u
,
w
}
+
{
v
,
w
}
{\displaystyle \lbrace u+v,w\rbrace =\lbrace u,w\rbrace +\lbrace v,w\rbrace }
{
u
,
v
w
}
=
{
u
,
v
}
w
+
v
{
u
,
w
}
{\displaystyle \lbrace u,vw\rbrace =\lbrace u,v\rbrace w+v\lbrace u,w\rbrace }
e sono tali da soddisfare l'identità di Jacobi :
{
{
u
,
v
}
,
w
}
+
{
{
v
,
w
}
,
u
}
+
{
{
w
,
u
}
,
v
}
=
0
{\displaystyle \lbrace \lbrace u,v\rbrace ,w\rbrace +\lbrace \lbrace v,w\rbrace ,u\rbrace +\lbrace \lbrace w,u\rbrace ,v\rbrace \,=\,0}
Come ha osservato Carl Jacobi , le parentesi di Poisson sono utili allo studio dei sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali del primo ordine. Inoltre costituiscono uno strumento importante per il trattamento delle grandezze dinamiche espresse come funzioni delle coordinate canoniche nella meccanica analitica . Inoltre hanno corrispondenze nella Meccanica quantistica .
Per qualsiasi elenco di coordinate canoniche valgono sempre le seguenti relazioni:
{
p
i
,
p
j
}
=
0
{
q
i
,
q
j
}
=
0
{\displaystyle \lbrace p_{i},p_{j}\rbrace =0\qquad \lbrace q_{i},q_{j}\rbrace =0}
{
q
i
,
p
j
}
=
δ
i
j
{\displaystyle \lbrace q_{i},p_{j}\rbrace =\delta _{ij}}
dove
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}}
delta di Kronecker ; queste sono dette parentesi fondamentali di Poisson .
Si può dimostrare che le parentesi fondamentali sono invarianti per trasformazioni canoniche .
Assumendo ciò, possiamo dimostrare che in generale la parentesi di Poisson tra due arbitrarie funzioni è pure invariante per trasformazioni canoniche.
Consideriamo un nuovo set di variabili coniugate
Q
i
(
q
i
,
p
i
)
{\displaystyle Q_{i}(q_{i},p_{i})}
P
i
(
q
i
,
p
i
)
{\displaystyle P_{i}(q_{i},p_{i})}
q
i
,
p
i
{\displaystyle q_{i},p_{i}}
{
u
,
v
}
Q
,
P
=
∑
i
=
1
n
(
∂
u
∂
Q
i
∂
v
∂
P
i
−
∂
u
∂
P
i
∂
v
∂
Q
i
)
{\displaystyle \lbrace u,v\rbrace _{Q,P}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial Q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial P_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial P_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial Q_{i}}}\right)}
Rispetto alle vecchie coordinate, la stessa parentesi di Poisson si scrive:
{
u
,
v
}
q
,
p
=
∑
i
=
1
n
(
∂
u
∂
q
i
∂
v
∂
p
i
−
∂
u
∂
p
i
∂
v
∂
q
i
)
=
∑
j
=
1
n
(
∂
u
∂
Q
j
{
Q
j
,
v
}
q
,
p
+
∂
u
∂
P
j
{
P
j
,
v
}
q
,
p
)
{\displaystyle \lbrace u,v\rbrace _{q,p}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial Q_{j}}}\lbrace Q_{j},v\rbrace _{q,p}+{\frac {\partial u}{\partial P_{j}}}\lbrace P_{j},v\rbrace _{q,p}\right)}
Da questa equazione è facile ricavare le parentesi di Poisson tra la generica funzione
u
{\displaystyle u}
Q
{\displaystyle Q}
v
⟶
Q
i
{\displaystyle v\longrightarrow Q_{i}}
{
u
,
Q
i
}
q
,
p
=
∑
j
=
1
n
∂
u
∂
Q
j
{
Q
j
,
Q
i
}
q
,
p
+
∂
u
∂
P
j
{
P
j
,
Q
i
}
q
,
p
{\displaystyle \lbrace u,Q_{i}\rbrace _{q,p}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial Q_{j}}}\lbrace Q_{j},Q_{i}\rbrace _{q,p}+{\frac {\partial u}{\partial P_{j}}}\lbrace P_{j},Q_{i}\rbrace _{q,p}}
Ma le parentesi di Poisson al secondo membro sono proprio le parentesi di Poisson fondamentali: poiché si può dimostrare che queste sono invarianti in una trasformazione canonica, segue che
{
P
j
,
Q
i
}
q
,
p
=
{
P
j
,
Q
i
}
Q
,
P
=
−
δ
j
i
{\displaystyle \lbrace P_{j},Q_{i}\rbrace _{q,p}=\lbrace P_{j},Q_{i}\rbrace _{Q,P}=-\delta _{ji}}
{
Q
j
,
Q
i
}
q
,
p
=
{
Q
j
,
Q
i
}
Q
,
P
=
0
{\displaystyle \lbrace Q_{j},Q_{i}\rbrace _{q,p}=\lbrace Q_{j},Q_{i}\rbrace _{Q,P}=0}
e otteniamo, per un'arbitraria funzione
u
{\displaystyle u}
{
u
,
Q
i
}
q
,
p
=
−
∑
j
=
1
n
∂
u
∂
P
j
δ
i
j
=
−
∂
u
∂
P
i
{\displaystyle \lbrace u,Q_{i}\rbrace _{q,p}=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial P_{j}}}\delta _{ij}=-{\frac {\partial u}{\partial P_{i}}}}
Analogamente si ottiene la parentesi di Poisson tra una arbitraria funzione
u
{\displaystyle u}
P
{\displaystyle P}
{
u
,
P
i
}
q
,
p
=
∂
u
∂
Q
i
{\displaystyle \lbrace u,P_{i}\rbrace _{q,p}={\frac {\partial u}{\partial Q_{i}}}}
Sostituendo queste relazioni nella espressione per
{
u
,
v
}
q
,
p
{\displaystyle \lbrace u,v\rbrace _{q,p}}
{
u
,
v
}
q
,
p
=
∑
i
=
1
n
(
∂
u
∂
Q
i
∂
v
∂
P
i
−
∂
u
∂
P
i
∂
v
∂
Q
i
)
=
{
u
,
v
}
Q
,
P
{\displaystyle \lbrace u,v\rbrace _{q,p}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial Q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial P_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial P_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial Q_{i}}}\right)=\lbrace u,v\rbrace _{Q,P}}
Dalla definizione delle parentesi di Poisson segue immediatamente che per qualunque funzione
f
(
q
,
p
,
t
)
{\displaystyle f(q,p,t)}
{
q
i
,
f
}
=
∂
f
∂
p
i
{\displaystyle \lbrace q_{i},f\rbrace ={\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}}
{
p
i
,
f
}
=
−
∂
f
∂
q
i
{\displaystyle \lbrace p_{i},f\rbrace =-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}}
Sostituendo alla generica funzione
f
{\displaystyle f}
H
{\displaystyle H}
{
q
i
,
H
}
=
∂
H
∂
p
i
=
q
˙
i
{\displaystyle \lbrace q_{i},H\rbrace ={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}_{i}}
{
p
i
,
H
}
=
−
∂
H
∂
q
i
=
p
˙
i
{\displaystyle \lbrace p_{i},H\rbrace =-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}={\dot {p}}_{i}}
Possiamo dimostrare che le grandezze che non dipendono esplicitamente dal tempo sono grandezze conservate se, e solo se, hanno parentesi di Poisson con
H
{\displaystyle H}
f
=
f
(
q
|
p
|
t
)
{\displaystyle f=f(q|p|t)}
d
f
d
t
=
∑
i
=
1
n
(
∂
f
∂
q
i
q
˙
i
+
∂
f
∂
p
i
p
˙
i
)
+
∂
f
∂
t
{\displaystyle {\frac {df}{dt}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right)+{\frac {\partial f}{\partial t}}}
Applicando le equazioni di Hamilton si può trasformare il secondo membro come segue:
d
f
d
t
=
{
f
,
H
}
+
∂
f
∂
t
{\displaystyle {\frac {df}{dt}}=\lbrace f,H\rbrace +{\frac {\partial f}{\partial t}}}
Se ora la derivata parziale rispetto al tempo si annulla, in quanto è esclusa una dipendenza temporale esplicita , si ottiene:
d
f
d
t
=
{
f
,
H
}
{\displaystyle {\frac {df}{dt}}=\lbrace f,H\rbrace }
e la grandezza
f
{\displaystyle f}
d
f
d
t
=
0
{\displaystyle {\frac {df}{dt}}=0}
{
f
,
H
}
=
0
{\displaystyle \lbrace f,H\rbrace =0}
Vale inoltre il seguente teorema, detto teorema di Poisson : se
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
{
u
,
v
}
{\displaystyle \lbrace u,v\rbrace }
Nel caso di
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
d
{
u
,
v
}
d
t
=
{
{
u
,
v
}
,
H
}
{\displaystyle {\frac {d\lbrace u,v\rbrace }{dt}}=\lbrace \lbrace u,v\rbrace ,H\rbrace }
Applicando l'identità di Jacobi il secondo membro diviene:
d
{
u
,
v
}
d
t
=
{
{
v
,
H
}
,
u
}
+
{
{
H
,
u
}
,
v
}
{\displaystyle {\frac {d\lbrace u,v\rbrace }{dt}}=\lbrace \lbrace v,H\rbrace ,u\rbrace +\lbrace \lbrace H,u\rbrace ,v\rbrace }
ma le parentesi di Poisson di
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
d
{
u
,
v
}
d
t
=
0
{\displaystyle {\frac {d\lbrace u,v\rbrace }{dt}}=0}
Sia
M
{\displaystyle M}
varietà simplettica , ovvero una varietà in cui è definita una forma simplettica : una 2-forma
ω
{\displaystyle \omega }
derivata esterna nulla:
d
ω
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} \omega =0}
M
=
R
2
n
{\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2n}}
ω
=
∑
i
=
1
n
d
q
i
∧
d
p
i
{\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dq_{i}\wedge dp_{i}}
Se
ι
v
ω
{\displaystyle \iota _{v}\omega }
prodotto interno definito come
(
ι
v
ω
)
(
w
)
=
ω
(
v
,
w
)
{\displaystyle (\iota _{v}\omega )(w)=\omega (v,w)}
1-forma
α
{\displaystyle \alpha }
campo vettoriale
Ω
α
{\displaystyle \Omega _{\alpha }}
ι
Ω
α
ω
=
α
{\displaystyle \iota _{\Omega _{\alpha }}\omega =\alpha }
Se quindi
H
{\displaystyle H}
funzione liscia definita su
M
{\displaystyle M}
campo vettoriale hamiltoniano
X
H
{\displaystyle X_{H}}
Ω
d
H
{\displaystyle \Omega _{dH}}
X
p
i
=
∂
∂
q
i
X
q
i
=
−
∂
∂
p
i
{\displaystyle X_{p_{i}}={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\qquad X_{q_{i}}=-{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}}
La parentesi di Poisson
{
⋅
,
⋅
}
{\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
operazione bilineare su funzioni differenziabili , definita da:
{
f
,
g
}
=
ω
(
X
f
,
X
g
)
{\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})}
La parentesi di Poisson di due funzioni su
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
{
f
,
g
}
=
ω
(
X
f
,
X
g
)
=
−
ω
(
X
g
,
X
f
)
=
−
{
g
,
f
}
{\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}}
Inoltre:
{
f
,
g
}
=
ω
(
X
f
,
X
g
)
=
ω
(
Ω
d
f
,
X
g
)
=
(
ι
Ω
d
f
ω
)
(
X
g
)
=
d
f
(
X
g
)
=
X
g
f
=
L
X
g
f
{\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=\omega (\Omega _{df},X_{g})=(\iota _{\Omega _{df}}\omega )(X_{g})=df(X_{g})=X_{g}f={\mathcal {L}}_{X_{g}}f}
dove
X
g
f
{\displaystyle X_{g}f}
X
g
{\displaystyle X_{g}}
f
{\displaystyle f}
derivata direzionale , e
L
X
g
f
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{g}}f}
derivata di Lie di
f
{\displaystyle f}
Se
α
{\displaystyle \alpha }
M
{\displaystyle M}
Ω
α
{\displaystyle \Omega _{\alpha }}
flusso
ϕ
x
(
t
)
{\displaystyle \phi _{x}(t)}
condizione al contorno
ϕ
x
(
0
)
=
x
{\displaystyle \phi _{x}(0)=x}
d
ϕ
x
d
t
=
Ω
α
|
ϕ
x
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\Omega _{\alpha }|_{\phi _{x}(t)}}
ϕ
x
(
t
)
{\displaystyle \phi _{x}(t)}
simplettomorfismo per ogni
t
{\displaystyle t}
x
{\displaystyle x}
L
Ω
α
ω
=
0
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega =0}
Ω
α
{\displaystyle \Omega _{\alpha }}
spazio vettoriale simplettico .
Herbert Goldstein, Meccanica Classica , Bologna, Zanichelli , 2005, ISBN 8808234002 . Antonio Fasano e Stefano Marmi, Meccanica Analitica , Torino, Bollati Boringhieri , 2002, ISBN 88-339-5681-4 . V. Moretti, Elementi di Meccanica Razionale, Meccanica Analitica e Teoria della Stabilità Università di Trento ).
(EN V. I. Arnold , Mathematical Methods of Classical Mechanics , 2nd, New York, Springer, 1989, ISBN 978-0-387-96890-2 . (EN L. D. Landau e E. M. Lifshitz , Mechanics , Course of Theoretical Physics , Vol. 1, 3rd, Butterworth-Heinemann, 1982, ISBN 978-0-7506-2896-9 . (EN Karasëv, M. V.; Maslov, V. P. , Nonlinear Poisson brackets. Geometry and quantization. Translated from the Russian by A. Sossinsky and M. Shishkova. Translations of Mathematical Monographs, 119 , Providence, American Mathematical Society, 1993. 
