Numero di Nusselt

Il numero di Nusselt, $\mathrm {Nu}$, è il gruppo adimensionale che esprime il rapporto tra il flusso di calore scambiato per convezione e il flusso di calore scambiato per conduzione.

Prende il nome dall'ingegnere tedesco Ernst Kraft Wilhelm Nusselt.

Il suo analogo per lo scambio di materia è il numero di Sherwood.

Definizione matematica

Il numero di Nusselt può essere espresso dalla seguente relazione:

$\mathrm {Nu} ={\frac {hd}{\lambda }}$

dove (indicando le unità di misura secondo il SI):

• $h$ è il coefficiente di scambio termico, anche detto coefficiente convettivo in $\left[\mathrm {W} \mathrm {m} ^{-2}\mathrm {K} ^{-1}\right]$;
• $d$ è la lunghezza caratteristica in $\left[\mathrm {m} \right]$, che dipende dal caso preso in esame (generalmente è pari al diametro equivalente del condotto);
• $\lambda$ è la conduttività termica in $\left[\mathrm {W} \mathrm {m} ^{-1}\mathrm {K} ^{-1}\right]$.

Derivazione dalla legge di Fourier

Il numero di Nusselt si ottiene adimensionalizzando la legge di Fourier:

$\mathbf {q} =-\lambda \nabla T$

dove:

• $\mathbf {q}$ è la densità di flusso termico in $\left[\mathrm {W} \,\mathrm {m} ^{-2}\right]$;
• $\lambda$ è la conduttività termica;
• $T$ la temperatura nel fluido in $\left[\mathrm {K} \right]$.

Introducendo le seguenti quantità adimensionalizzate:

$\nabla '=d\nabla$

$T'={\frac {T-T_{h}}{T_{h}-T_{c}}}$

si ha:

$-\nabla 'T'={\frac {\mathbf {q} }{(T_{h}-T_{c})}}{\frac {d}{\lambda }}={\frac {hd}{\lambda }}$

dove si è utilizzata l'equazione $\mathbf {q} =h(T_{h}-T_{c})$.

L'equazione quindi diventa:

$\mathrm {Nu} =-\nabla 'T'$

Interpretazione fisica

Il numero di Nusselt rappresenta l’incremento della potenza termica trasmessa per convezione attraverso uno strato di fluido rispetto a quella trasmessa per conduzione attraverso lo stesso strato.

Il valore unitario $(\mathrm {Nu} =1)$ è caratteristico della trasmissione del calore per conduzione pura attraverso lo strato di fluido. All'aumentare del valore di $\mathrm {Nu}$ risulta sempre più sviluppato il fenomeno della convezione.

Può essere visto anche come il rapporto tra la resistenza al trasporto di calore per diffusione e quella al trasporto di calore per convezione.

$\mathrm {Nu} ={\frac {hd}{\lambda }}=\left({\cfrac {d}{\lambda A}}\right)/\left({\cfrac {1}{hA}}\right)={\frac {R_{diffusione}}{R_{convezione}}}$

Applicazioni

Il numero di Nusselt viene utilizzato nei problemi di convezione termica, in quanto la sua determinazione permette di conoscere il coefficiente di scambio termico convettivo fra il fluido e la parete. Può perciò essere utile conoscerne il valore medio sulla parete in considerazione, ottenuto come media integrale:

${\overline {\mathrm {Nu} }}=-{{1} \over {S'}}\int _{S'}^{}\mathrm {Nu} \,\operatorname {d} S'$

dove:

$S'={\frac {S}{d^{2}}}$

Generalmente il numero di Nusselt è valutato in funzione del numero di Prandtl e del numero di Grashof per convezione naturale, oppure in funzione del numero di Prandtl e del numero di Reynolds per convezione forzata.
In particolare nel caso di convezione naturale può essere determinato dalla relazione seguente:

$\mathrm {Nu} =C\,\mathrm {Gr} ^{n}\mathrm {Pr} ^{m}$

mentre nel caso di convezione forzata può essere determinato dalla relazione seguente:

$\mathrm {Nu} =C\,\mathrm {Re} ^{n}\mathrm {Pr} ^{m}$

Bibliografia

• Sandro Longo, Analisi dimensionale e modellistica fisica: principi e applicazioni alle scienze ingegneristiche, Springer, 2011, ISBN 88-470-1871-4.
• Nicola Rossi, Manuale del termotecnico, 2ª ed., Hoepli, 2003, ISBN 88-203-3095-4.
• (EN) R. Byron Bird, Warren E. Stewart e Edwin N. Lightfoot, Transport Phenomena, Revised 2nd Edition, New York, John Wiley & Sons, 2007, ISBN 978-0-470-11539-8.

Voci correlate

• Coefficiente di scambio termico
• Numero di Stanton
• Numero di Scherwood

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