Grassmanniana

Tre piani distinti nello spazio, tutti passanti per l'origine. Ciascuno di questi piani è un punto nella grassmanniana.

In matematica, la grassmanniana di uno spazio vettoriale $V$ è l'insieme di tutti i suoi sottospazi aventi dimensione fissata $k$. Questo insieme è indicato generalmente con il simbolo

$\operatorname {Gr} _{k}(V).$

Per $k=1$ la grassmanniana è l'insieme delle rette in $V$, ovvero lo spazio proiettivo

$\operatorname {Gr} _{1}(V)=\mathbb {P} (V).$

Il nome è legato al matematico tedesco Hermann Grassmann.

Esempi

Se $V$ è lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ (ad esempio il piano cartesiano $\mathbb {R} ^{2}$ oppure lo spazio tridimensionale $\mathbb {R} ^{3}$) la grassmanniana è l'insieme dei sottospazi di dimensione $k$ dello spazio.

Ad esempio,

$\operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{2})$

è l'insieme di tutte le rette nel piano passanti per l'origine, mentre

$\operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{3})$

è l'insieme di tutte le rette nello spazio passanti per l'origine. Inoltre

$\operatorname {Gr} _{2}(\mathbb {R} ^{3})$

è l'insieme di tutti i piani nello spazio passanti per l'origine. Poiché ogni piano è ortogonale nello spazio ad un'unica retta (sempre passante per $O$), c'è una naturale funzione biunivoca

$f\colon \operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{3})\to \operatorname {Gr} _{2}(\mathbb {R} ^{3})$

tra le due grassmanniane.

La grassmanniana più semplice che non sia isomorfa ad uno spazio proiettivo è l'insieme dei piani in uno spazio quadridimensionale:

$\operatorname {Gr} _{2}(\mathbb {R} ^{4}).$

Proprietà

Dimensioni

Se $V$ è uno spazio di dimensione $n$ finita su cui è definito un prodotto scalare non degenere, è possibile associare ad ogni sottospazio $k$-dimensionale $W$ il suo ortogonale $W^{\perp }$, avente dimensione $n-k$. In questo modo il prodotto scalare definisce un isomorfismo fra le grassmanniane di dimensione complementare:

$\operatorname {Gr} _{k}(V)\cong \operatorname {Gr} _{n-k}(V).$

L'isomorfismo dipende dal prodotto scalare scelto.

Spazio proiettivo

La grassmanniana rappresenta i sottospazi vettoriali di dimensione $k$ di $V$. Poiché tali sottospazi sono in naturale corrispondenza biunivoca con i sottospazi proiettivi $(k-1)$-dimensionali di $\mathbb {P} (V)$, la grassmanniana rappresenta anche i sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo.

La grassmanniana non rappresenta però i sottospazi affini.

Spazio omogeneo

La grassmanniana può essere definita nel modo seguente con gli strumenti dell'algebra. Il gruppo generale lineare $GL(V)$ agisce sui $k$-sottospazi vettoriali di $V$ in modo transitivo. Sia $H$ lo stabilizzatore di un sottospazio (è un sottogruppo di $GL(V)$). Si può quindi scrivere

$\operatorname {Gr} _{k}=\operatorname {GL} (V)/H.$

Con questa definizione la grassmanniana risulta essere dotata automaticamente di alcune strutture aggiuntive. Se lo spazio vettoriale è reale o complesso, il gruppo $GL(V)$ è un gruppo di Lie e la grassmanniana è conseguentemente una varietà differenziabile. In particolare, è uno spazio topologico: la topologia concretizza le nozioni di "vicinanza" e "lontananza" fra sottopazi e di "movimento continuo" di sottospazi.

Dalla definizione segue anche che la grassmanniana è uno spazio omogeneo: i suoi punti (cioè i sottospazi) sono moralmente indistinguibili.

Spazio compatto

La compattezza della grassmanniana è un fenomeno caratteristico della geometria degli spazi vettoriali e proiettivi. Non è presente in geometria affine, dove è possibile trovare una successione di piani paralleli sempre più lontani (e quindi non convergenti).

Nel caso in cui $V$ sia reale o complesso, la grassmanniana è uno spazio topologico. Se $V$ ha dimensione finita, la grassmanniana risulta essere uno spazio compatto.

Effettivamente, dopo aver scelto un prodotto scalare per $V$ è possibile sostituire il gruppo generale lineare $GL(V)$ con il gruppo ortogonale $O(V)$, che è compatto. La grassmanniana risulta quindi compatta perché quoziente di un compatto. Nel caso complesso, si sceglie analogamente un prodotto hermitiano e si usa il gruppo unitario.

La compattezza testimonia il fatto seguente: una successione di $k$-sottospazi contiene sempre una sottosuccessione di elementi che convergono ad un preciso sottospazio. Questo fatto è quindi valido sia per i sottospazi vettoriali che per quelli proiettivi. Non è però vera nel caso affine a causa del parallelismo: una successione di piani paralleli sempre più lontani non ha nessuna sottosuccessione convergente.

Voci correlate

• Spazio proiettivo

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Grassmanniana, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Grassmanniana, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.