Numero di Liouville

Un numero di Liouville è un numero reale che può essere approssimato "molto bene" con una successione di numeri razionali.

Formalmente, un numero $x$ è di Liouville se per ogni numero intero positivo $n$ esistono degli interi $p$ e $q$ con $q>1$ tali che

0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}

.

Una definizione equivalente è che per ogni $n$ esistono infinite coppie $(p,q)$ di interi che verificano questa proprietà.

Si dimostra facilmente che ogni numero di Liouville è irrazionale. Nel 1844 Joseph Liouville dimostrò che i numeri che oggi portano il suo nome sono non solo irrazionali, ma anche trascendenti.

Si dimostra che i numeri di Liouville nell'intervallo $[0,1]$ sono non numerabili, ma hanno misura nulla.^[1] Questo implica che non tutti i numeri trascendenti sono di Liouville, e che anzi questa classe di numeri è molto piccola rispetto all'insieme dei numeri trascendenti. Esempi di numeri trascendenti ma non di Liouville sono il numero di Nepero ( $e$ ) e pi greco ( $\pi$ ).

La costante di Liouville, che, come non è difficile dimostrare, è un esempio di numero di Liouville, è il primo numero del quale è stata dimostrata la trascendenza.

Irrazionalità

Supponiamo che sia $x=a/b$ , con $a$ e $b$ interi, e sia $n$ tale che $2^{n-1}>b$ . Allora per ogni coppia di interi $p$ e $q$ tali che $q>1$ e $p/q\neq a/b$ si ha

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}}\geq {\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}

contraddicendo la proprietà usata per definire i numeri di Liouville.

Trascendenza

Ogni numero di Liouville è trascendente, come fu dimostrato da Liouville nel 1844 (teorema di Liouville), sebbene l'inverso non sia sempre vero. La dimostrazione è basata sul lemma seguente.

Lemma. Per ogni algebrico irrazionale $\alpha$ di grado n (che risolve cioè un'equazione di grado n a coefficienti interi, ma non equazioni di grado inferiore), esiste una costante A tale che per ogni coppia di interi p, q con q > 0

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}

Dimostrazione del lemma.

Sia P(x) il polinomio minimo di α (cioè monico e di grado minimo tale che $P(\alpha )=0$ ). Poiché i polinomi sono lipschitziani in un intervallo limitato, esiste M > 0 tale che per ogni coppia a, b si ha

|P(a)-P(b)|<M|a-b|

Quindi in particolare

M\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\left|P(\alpha )-P\left({\frac {p}{q}}\right)\right|=\left|P\left({\frac {p}{q}}\right)\right|

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{M}}\left|P\left({\frac {p}{q}}\right)\right|

Osserviamo ora che $P(p/q)\neq 0$ , in quanto altrimenti esisterebbe un altro polinomio a coefficienti razionali di grado minore che ha ancora $\alpha$ come radice, contro le ipotesi. Da ciò segue anche la diseguaglianza $\left|P\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq {\frac {1}{q^{n}}}$ , perché si possono ridurre tutti i termini di P(p/q), $a_{i}{\frac {p^{i}}{q^{i}}}$ allo stesso denominatore qⁿ, e ciò dimostra il lemma.

Dimostrazione della trascendenza dei numeri di Liouville. Supponiamo ora che il numero di Liouville $\alpha$ sia algebrico di grado n, sia A la costante data dal lemma e r tale che ${\frac {1}{2^{r}}}<A$ . Se m=r+n, allora, per la definizione di numero di Liouville, si ha