Prodotto diretto

In algebra, il prodotto diretto esterno di due gruppi è un altro gruppo, costruito prendendo il prodotto cartesiano di questi e definendo l'operazione termine a termine.

La costruzione si estende facilmente in alcuni casi in cui il gruppo ha anche delle strutture aggiuntive: è possibile quindi effettuare il prodotto diretto di spazi vettoriali e anelli.

Prodotto di due gruppi

Definizione

Il prodotto diretto di due gruppi (G₁, *₁), (G₂, *₂) è il gruppo (G₁× G₂, *_×) che si ottiene munendo il prodotto cartesiano G₁×G₂ dell'operazione *_× definita da

(a_{1},a_{2})*_{\times }(b_{1},b_{2}):=(a_{1}*_{1}b_{1},a_{2}*_{2}b_{2}),

con $a_{1}$ e $b_{1}$ appartenenti a $G_{1}$ e $a_{2}$ e $b_{2}$ appartenenti a $G_{2}$ .

Generalmente è possibile, per semplicità di lettura, omettere i vari simboli di prodotto, sottintendendo che due elementi di un gruppo vengono moltiplicati col prodotto definito in quel gruppo, in questo modo la formula definitoria assume la forma più leggibile

(a_{1},a_{2})(b_{1},b_{2}):=(a_{1}b_{1},a_{2}b_{2}).

Data la definizione, occorre dimostrare la sua consistenza, cioè che il prodotto definito goda effettivamente delle proprietà gruppali.

L'associatività discende direttamente dall'analoga proprietà dei due gruppi G₁ e G₂.
L'elemento neutro è dato da (e₁, e₂) dove e₁ ed e₂ sono gli elementi unità di G₁ e G₂ rispettivamente. Infatti:
$(e_{1},e_{2})(a_{1},a_{2})=(e_{1}a_{1},e_{2}a_{2})=(a_{1},a_{2}).$
L'elemento inverso di (a₁, a₂) è
$(a_{1},a_{2})^{-1}:=(a_{1}^{-1},a_{2}^{-1}),$
infatti:
$(a_{1}^{-1},a_{2}^{-1})(a_{1},a_{2})=(a_{1}^{-1}a_{1},a_{2}^{-1}a_{2})=(e_{1},e_{2}).$

Se G₁ e G₂ sono scritti in notazione additiva, (G₁× G₂, +_×) è anche detto somma diretta dei due gruppi.

Proprietà

I due gruppi fattori G₁ e G₂ possono essere identificati canonicamente con due sottogruppi normali
$H_{1}=\{(a_{1},e_{2})\ |\ a_{1}\in G_{1}\}$

$H_{2}=\{(e_{1},a_{2})\ |\ a_{2}\in G_{2}\}$
rispettivamente. Infatti le due applicazioni
$f_{1}:G_{1}\to H_{1}\quad f_{1}(a_{1})=(a_{1},e_{2})$

$f_{2}:G_{2}\to H_{2}\quad f_{2}(a_{2})=(e_{1},a_{2})$
sono isomorfismi di gruppi.
Il prodotto di due gruppi finiti aventi n e m elementi è un gruppo con nm elementi.
Il prodotto di due gruppi abeliani è abeliano.
Il prodotto di due gruppi ciclici con p e q elementi è ciclico se e solo se p e q sono coprimi.

Un'estensione del concetto di prodotto diretto è il prodotto semidiretto tra gruppi.

Esempio

Il prodotto diretto di n copie dello stesso gruppo G viene indicato con Gⁿ. Ad esempio, otteniamo i gruppi Zⁿ e Rⁿ a partire dai gruppi Z e R rispettivamente dei numeri interi e reali.

Strutture aggiuntive

Anelli

Se A e B sono due anelli, il loro prodotto diretto A × B ha una naturale struttura di anello, ottenuta definendo sia la somma che il prodotto termine a termine come sopra. Nel prodotto diretto ci sono divisori dello zero, infatti $(a,0_{B})\cdot (0_{A},b)=0_{A\times B}$

Spazi vettoriali

Il prodotto diretto V × W di due spazi vettoriali ha una naturale struttura di spazio vettoriale, ottenuta definendo somma e prodotto per scalare termine a termine. Quindi:

\lambda (v,w)=(\lambda v,\lambda w)

Se due sottospazi U e W di uno spazio vettoriale V sono in somma diretta, allora il sottospazio U + W che generano è isomorfo al loro prodotto diretto U × W.

L'esempio più importante di prodotto diretto di spazi vettoriali è Kⁿ, definito come il prodotto diretto di n copie del campo K.

Campi

Il prodotto diretto di due campi è certamente un anello, ma non è mai un campo (a meno che uno dei due campi non sia banale). Infatti l'elemento (a, 0) non ha mai un inverso se a è diverso da zero.

Voci correlate

Collegamenti esterni

Prodotto diretto, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) Eric W. Weisstein, Direct Product, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Direct product, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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