Polinomio di Bernoulli

In matematica, i polinomi di Bernoulli si incontrano nello studio di molte funzioni speciali e in particolare della funzione zeta di Riemann e della funzione zeta di Hurwitz. Questo in gran parte è dovuto al fatto che essi costituiscono la sequenza di Sheffer relativa all'ordinario operatore di derivazione. Contrariamente alle successioni di polinomi ortogonali, la successione dei polinomi di Bernoulli è caratterizzata dal fatto che il numero delle intersezioni con l'asse delle x nell'intervallo unitario non cresce illimitatamente al crescere del grado dei polinomi. Al crescere del grado i polinomi di Bernoulli, sottoposti ad appropriate omotetie, approssimano le funzioni seno e coseno.

Funzioni generatrici

La funzione generatrice dei polinomi di Bernoulli è

${\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}$ .

La funzione generatrice dei polinomi di Eulero è invece

${\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

Caratterizzazione mediante un operatore differenziale

I polinomi di Bernoulli si possono anche definire come:

$B_{n}(x):={D \over e^{D}-1}x^{n},$

dove $D:={\frac {d}{dx}}$ denota la differenziazione rispetto alla $x$ e la frazione va sviluppata come serie formale di potenze.

Allo stesso modo, i polinomi di Eulero sono dati da:

$E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}}x^{n}.$

Formula esplicita

Una formula esplicita per i polinomi di Bernoulli è la seguente:

$B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}.$

Si osserva la rilevante somiglianza con l'espressione mediante la serie globalmente convergente per la funzione zeta di Hurwitz. In effetti si ha

$B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,x),$

dove $\zeta (s,q)$ denota la zeta di Hurwitz; in un certo senso, la zeta di Hurwitz estende i polinomi di Bernoulli ai valori non interi della $n.$

Una formula esplicita per i polinomi di Eulero è data da:

$E_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}.$

I numeri di Bernoulli e i numeri di Eulero

I numeri di Bernoulli sono dati da $B_{n}=B_{n}(0).$

A loro volta i numeri di Eulero sono dati da $E_{n}=2^{n}E_{n}(1/2).$

Espressioni esplicite per i polinomi dei gradi minori

I primi componenti della successione dei polinomi di Bernoulli sono:

$B_{0}(x)=1;$

$B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}};$

$B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}};$

$B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x;$

$B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}};$

$B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x;$

$B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.$

I polinomi di Eulero dei gradi più bassi sono:

$E_{0}(x)=1;$

$E_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}};$

$E_{2}(x)=x^{2}-x;$

$E_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{4}};$

$E_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x;$

$E_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}};$

$E_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x.$

Differenze

I polinomi di Bernoulli e quelli di Eulero ubbidiscono molte relazioni fornite dal calcolo umbrale:

$B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1};$

$E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.$

Derivate

Ciascuna delle due successioni di polinomi è una sequenza polinomiale e più precisamente una sequenza di Appel:

$B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x);$

$E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x).$

Traslazioni

$B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k};$

$E_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}.$

Queste identità sono equivalenti ad affermare che ciascuna di queste successioni polinomiali è una sequenza di Appel. Un altro esempio di queste successioni è fornito dai polinomi di Hermite.

Simmetrie

$B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x);$

$E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x);$

$(-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1};$

$(-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n}.$

Serie di Fourier

La serie di Fourier dei polinomi di Bernoulli è anche una serie di Dirichlet e un caso speciale di funzione zeta di Hurwitz

$B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.$

Inversione

Può essere utile esprimere le potenze della variabile come combinazioni lineari dei polinomi di Bernoulli. Specificamente si ha

$x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x).$

Queste uguaglianze e le espressioni esplicite dei polinomi di Bernoulli vanno viste come le identità di collegamento tra le due basi dello spazio vettoriale dei polinomi fornite dalle potenze della variabile e dai polinomi di Bernoulli.

Collegamento con i fattoriali decrescenti

Un'altra coppia di successioni di identità di collegamento fra basi dello spazio vettoriale dei polinomi riguarda i polinomi di Bernoulli e i fattoriali decrescenti. I polinomi di Bernoulli sono espressi come combinazioni lineari di fattoriali decrescenti $(x)_{k}$ dalle

$B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1},$

dove $B_{n}:=B_{n}(0)$ e

$\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)$

denota il numero di Stirling di seconda specie. Viceversa i fattoriali decrescenti sono espressi come combinazioni lineari di polinomi di Bernoulli:

$(x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right),$

dove

$\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)$

denota il numero di Stirling di prima specie.

Teoremi di moltiplicazione

Questi teoremi di moltiplicazione sono stati dati da Joseph Ludwig Raabe nel 1851:

$B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right);$

$E_{n}(mx)=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}E_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right),\quad {\text{per }}m=1,3,\ldots ;$

$E_{n}(mx)={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}B_{n+1}\left(x+{\frac {k}{m}}\right),\quad {\text{per }}m=2,4,\ldots .$

Integrali

Integrali indefiniti

$\int _{a}^{x}dt\;B_{n}(t)={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}};$

$\int _{a}^{x}dt\;E_{n}(t)={\frac {E_{n+1}(x)-E_{n+1}(a)}{n+1}}.$

Integrali definiti

$\int _{0}^{1}dt\;B_{n}(t)B_{m}(t)=(-1)^{n-1}{\frac {m!n!}{(m+n)!}}B_{n+m},\quad {\text{per }}m,n\geq 1;$

$\int _{0}^{1}dt\;E_{n}(t)E_{m}(t)=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}.$

Bibliografia

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover (Vedi Chapter 23)
• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (Chapter 12.11)
• Jesus Guillera, Jonathan Sondow, Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent (2005) (Rassegna della relazione tra funzione zeta di Hurwitz e funzione trascendente di Lerch.)

Voci correlate

• Numeri di Bernoulli
• Polinomi calcolanti somme di potenze di progressioni aritmetiche

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