Metodo dei nodi

In elettrotecnica e in particolare in teoria dei circuiti si definisce metodo dei nodi o più propriamente metodo dei potenziali ai nodi il procedimento risolutivo per circuiti di bipoli, sia in regime stazionario che sinusoidale, per determinare tutti i potenziali ai nodi del circuito. Si può applicare solo a reti con generatori di corrente e componenti ad ammettenza, ma in caso di reti con generatori di tensione ideali si può ricorrere ad una sua variante.

Il vantaggio principale del metodo dei potenziali ai nodi è che per una rete con $n$ nodi e $l$ lati richiede la soluzione di solo $n-1$ equazioni, a differenza delle $n-1$ equazioni ai nodi e le $l-n+1$ equazioni alle maglie ottenute applicando direttamente le leggi di Kirchhoff.

Esempio

La rete in figura è composta da bipoli lineari, due generatori di corrente e cinque resistori, è quindi possibile applicare il metodo dei potenziali ai nodi. Si sceglie un nodo arbitrariamente (nel disegno il nodo in basso) e lo si assume come potenziale di riferimento, ora $V_{1},V_{2},V_{3}$ sono le tensioni tra i nodi 1 2 3 e il nodo di riferimento.

È possibile scrivere ogni corrente incognita della rete in funzione di $V_{1},V_{2},V_{3}$ , $I_{i}$ è la corrente passante per $R_{i}$ e $G_{i}={\frac {1}{R_{i}}}$ è la conduttanza della resistenza $i$

$I_{1}={\frac {V_{1}-V_{3}}{R_{1}}}=G_{1}(V_{1}-V_{3})$

$I_{2}={\frac {V_{1}-V_{2}}{R_{2}}}=G_{2}(V_{1}-V_{2})$

$I_{3}={\frac {V_{2}-V_{3}}{R_{3}}}=G_{3}(V_{2}-V_{3})$

$I_{4}={\frac {V_{2}}{R_{4}}}=G_{4}V_{2}$

applicando la Legge di Kirchhoff ai nodi sappiamo che

\left\{{\begin{matrix}+J_{1}&-I_{1}&-I_{2}&=&0\\+I_{2}&-I_{3}&-I_{4}&=&0\\+J_{2}&+I_{1}&+I_{3}&=&0\\\end{matrix}}\right.

che combinato con le relazioni trovate prima per le correnti incognite

\left\{{\begin{matrix}J_{1}&-G_{1}(V_{1}-V_{3})&-G_{2}(V_{1}-V_{2})&=&0\\G_{2}(V_{1}-V_{2})&-G_{3}(V_{2}-V_{3})&-G_{4}V_{2}&=&0\\J_{2}&G_{1}(V_{1}-V_{3})&G_{3}(V_{2}-V_{3})&=&0\\\end{matrix}}\right.

Riordinando il sistema per $V_{1},V_{2},V_{3}$

\left\{{\begin{matrix}(-G_{1}-G_{2})V_{1}&+G_{2}V_{2}&+G_{1}V_{3}&=&-J_{1}\\(G_{2})V_{1}&(-G_{2}-G_{3}-G_{4})V_{2}&+G_{3}V_{3}&=&0\\G_{1}V_{1}&+G_{3}V_{2}&(-G_{1}-G_{3})V_{3}&=&-J_{2}\\\end{matrix}}\right.

queste sono tre equazioni linearmente indipendenti di tre variabili. Non resta che risolvere il sistema e trovare le tensioni ai nodi da cui si ricavano tutte le correnti incognite. In regime sinusoidale il metodo è analogo: utilizza il calcolo simbolico e le ammettenze invece delle conduttanze.

Caso generale

La rete ha n nodi, siano $V_{1},V_{2}...V_{n-1}$ le tensioni ai nodi.

Il metodo dei potenziali ai nodi consiste nel risolvere il sistema in forma matriciale

{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,(n-1)}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,(n-1)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{(n-1),1}&a_{(n-1),2}&\cdots &a_{(n-1),(n-1)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\\\vdots \\V_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}

dove

$a_{i,i}=+\sum$ conduttanze che convergono al nodo $i$

$i\neq j,a_{i,j}=-\sum$ conduttanze tra il nodo $i$ e il nodo $j$

$b_{i}=+\sum$ correnti dei generatori di corrente che convergono al nodo $i$

Metodo dei potenziali ai nodi modificato

Esiste un'estensione al metodo dei potenziali ai nodi che permette di risolvere circuiti con generatori ideali di tensione; tale metodo però richiede la soluzione di un sistema di $(N-1)+E$ equazioni, dove $E$ è il numero di generatori ideali di tensione, per cui è vantaggioso fintanto che $E<L-2(N-1)$ , visto che le equazioni di Kirchhoff delle tensioni sono $L-(N-1)$ e le equazioni dei potenziali ai nodi sono $N-1$ .

Esempio

Per prima cosa è conveniente sostituire tutti i generatori di tensione reali (cioè in serie con una resistenza) con i rispettivi generatori equivalenti di Norton, nel nostro caso il nuovo generatore $J_{2}={\frac {E_{1}}{R_{3}}}$

ora si scrivono tutte le equazioni ai nodi in funzione delle tensioni $V_{1},V_{2},V_{3}$ e della corrente incognita $I_{E_{2}}$ che attraversa il generatore $E_{2}$ . A queste equazioni va aggiunta l'equazione che lega la tensione generata da $E_{2}$ con i potenziali ai suoi capi.