Insieme nullo (teoria della misura)

Nella teoria della misura, un insieme nullo è un insieme trascurabile ai fini della misura usata. La classe degli insiemi nulli dipende dalla misura considerata. Quindi si dovrebbe parlare di insiemi $\mu$-nulli per la data misura $\mu$.

Definizione

Sia $X$ uno spazio misurabile, sia $\mu$ una misura su $X$, e sia $N$ un insieme misurabile in $X$. Se $\mu$ è una misura positiva, allora $N$ è nullo se e solo se $\mu (N)=0$. Se $\mu$ non è una misura positiva, allora $N$ è $\mu$-nullo se $N$ è $||\mu ||$-nullo, dove $||\mu ||$ è la variazione totale di $\mu$; questo è più forte che richiedere $\mu (N)=0$.

Un insieme non misurabile è considerato nullo se è un sottoinsieme di un insieme misurabile nullo. Alcune fonti richiedono che un insieme nullo sia misurabile: comunque gli insiemi nulli sono sempre trascurabili per i fini della teoria della misura.

Parlando di insiemi nulli nell'n-spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ è di solito sottinteso che la misura usata è quella di Lebesgue.

Proprietà

L'insieme vuoto è sempre un insieme nullo. Più in generale, ogni unione numerabile di insiemi nulli è nulla. Ogni sottoinsieme misurabile di un insieme nullo è nullo. Insieme, questi fatti mostrano che gli insiemi $\mu$-nulli di $X$ formano un sigma-ideale su $X$. Allo stesso modo gli insiemi $\mu$-nulli misurabili formano un sigma-ideale della sigma-algebra degli insiemi misurabili. Quindi gli insiemi nulli possono essere interpretati come insiemi trascurabili, definendo una nozione di quasi ovunque.

Nella misura di Lebesgue

Per la misura di Lebesgue su $\mathbb {R} ^{n}$, tutti gli insiemi di un punto sono nulli, e quindi tutti gli insiemi numerabili sono nulli. In particolare, L'insieme $\mathbb {Q}$ dei numeri razionali è un insieme nullo, nonostante sia denso in $\mathbb {R}$. L'insieme di Cantor è un esempio di insieme nullo non numerabile in $\mathbb {R}$.

Più in generale, un sottoinsieme $N\subseteq \mathbb {R}$ è nullo se e solo se:

Dato un qualsiasi numero positivo $\varepsilon$, esiste una successione $\{I_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ di intervalli tali che $N$ è contenuto nell'unione degli $I_{n}$ e la lunghezza totale degli $I_{n}$ è minore di $\varepsilon$.

Questa condizione può essere generalizzata a $\mathbb {R} ^{n}$, usando n-cubi al posto degli intervalli. Di fatto l'idea può essere resa sensata in ogni varietà topologica, anche se non è disponibile una misura di Lebesgue.

Applicazioni

• Gli insiemi nulli giocano un ruolo chiave nella definizione dell'integrale di Lebesgue: se le funzioni f e g sono uguali ovunque tranne che in un insieme di misura nulla, allora f è integrabile se e solo se g lo è, e gli integrali sono uguali.
• Uno spazio di misura in cui tutti gli insiemi contenuti in un insieme nullo siano misurabili è detto completo.

Ogni misura non completa può essere completata andando a formare una misura completa, assumendo che gli insiemi nulli abbiano misura zero. La misura di Lebesgue è un esempio di misura completa; in alcune costruzioni è definita come il completamento di una misura di Borel non completa.

Bibliografia

• Paul R. Halmos, Measure Theory, New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90088-8.

Voci correlate

• Teoria della misura
• Quasi ovunque
• Quasi certamente

Collegamenti esterni

• (EN) null set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Insieme nullo, su MathWorld, Wolfram Research.