Carattere di Dirichlet

In matematica, un carattere di Dirichlet modulo q è una funzione aritmetica completamente moltiplicativa che estende a tutti i naturali un carattere del gruppo delle unità di Z/qZ. Più precisamente, dato un intero positivo q, una funzione aritmetica χ(n) si dice essere un carattere modulo q se esiste un omomorfismo f dal gruppo degli invertibili di Z/qZ negli invertibili di C tale che

$\chi \left(n\right)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{se}}\ \left(n,q\right)>1,\\f\left(n\right)&{\mbox{altrimenti.}}\end{matrix}}\right.$

Se come funzione f si prende la funzione costantemente uguale a 1, allora il carattere χ₁ associato ad f è detto carattere principale modulo q.

Se un carattere di Dirichlet modulo q si può scrivere come prodotto di un carattere modulo un intero k strettamente minore di q (che dovrà necessariamente essere un divisore di q) e il carattere principale modulo q, allora esso verrà detto non primitivo. I caratteri che non sono non primitivi, sono detti primitivi.

Proprietà elementari

Dato che per ogni intero positivo q vi sono esattamente φ(q) caratteri di Z/qZ, si ha che lo stesso vale per i caratteri di Dirichlet modulo q. Inoltre, dalla definizione discende subito che essi sono completamente moltiplicativi, periodici di periodo q e che hanno immagine nell'insieme comprendente 0 e le radici φ(q)-esime dell'unità.

Dato un carattere di Dirichlet $\chi$, si può definire il suo carattere coniugato ${\overline {\chi }}$, definendolo semplicemente come

${\overline {\chi }}(n)={\overline {\chi (n)}}.$

Chiaramente, se $\chi$ è un carattere di Dirichlet modulo q, anche ${\overline {\chi }}$ lo è.

Un'altra importante proprietà dei caratteri di Dirichlet è la seguente: se χ è un carattere modulo q, allora per ogni coppia di interi m ed n con n e q coprimi si ha

$\sum _{\chi {\text{ mod }}q}\chi (m){\overline {\chi }}(n)={\begin{cases}\varphi (q)&{\text{se }}m\equiv n{\text{ mod }}q,\\0&{\text{altrimenti,}}\end{cases}}$

ove la somma è su tutti i caratteri modulo q.

Bibliografia

• (EN) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9. capitolo 6.8
• (EN) Harold Davenport, Multiplicative number theory, 3ª ed., Springer, 2000, ISBN 0-387-95097-4.

Voci correlate

• Teoria dei caratteri
• Funzione L di Dirichlet