Dipolo elettrico

Un dipolo elettrico, in elettrostatica, è un sistema composto da due cariche elettriche uguali e opposte di segno e separate da una distanza costante nel tempo. È uno dei più semplici sistemi di cariche che si possano studiare e rappresenta l'approssimazione basilare del campo elettrico generato da un insieme di cariche globalmente neutro, trattandosi del primo termine dello sviluppo in multipoli di quest'ultimo.

Linee di forza del campo elettrico generato da un dipolo elettrico. Il dipolo consiste di due cariche puntiformi di polarità opposta poste vicine: viene mostrata la trasformazione da dipolo di estensione finita a dipolo puntiforme.

Un dipolo

Momento elettrico

Dato un sistema di cariche, il momento elettrico, o momento di dipolo, è una grandezza vettoriale che quantifica la separazione tra le cariche positive e negative, ovvero la polarità del sistema, e si misura in Coulomb per metro.

Date due cariche di segno opposto e uguale modulo $q$, il momento elettrico $\mathbf {p}$ è definito come:

$\mathbf {p} =q\mathbf {d}$

dove $\mathbf {d}$ è il vettore spostamento dell'uno rispetto all'altro, orientato dalla carica negativa alla carica positiva e per il quale deve valere:

$\mathbf {\dot {d}} =\mathbf {0}$

Questa notazione significa che la derivata del vettore $\mathbf {d}$ rispetto al tempo deve essere nulla, cioè il vettore $\mathbf {d}$ si mantiene costante (in modulo, direzione e verso) nel tempo. Nel caso di una distribuzione continua di carica che occupa un volume $V$, l'espressione per il momento elettrico è:

$\mathbf {p} =\int \limits _{V}\rho (\mathbf {r'} )\,\mathbf {r'} \ d^{3}\mathbf {r'}$

dove $\mathbf {r} '$ è il vettore che individua l'elemento infinitesimo di volume $d^{3}\mathbf {r} '$ in $V$ e $\rho (\mathbf {r} ')$ è la densità volumetrica della distribuzione continua di carica.

Per una distribuzione discreta di carica, la densità di carica viene descritta attraverso la delta di Dirac:

$\rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})$

dove $\mathbf {r} _{i}$ è la posizione della carica $q_{i}$, ed integrando sul volume si ha:

${\begin{aligned}\mathbf {p} &=\int \limits _{V}\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\delta (\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{i})\,\mathbf {r'} \ d^{3}\mathbf {r'} \\&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\int \limits _{V}\delta (\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{i})\,\mathbf {r'} \ d^{3}\mathbf {r'} \\&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\mathbf {r} _{i}\end{aligned}}$

Al momento di dipolo elettrico si associa un momento meccanico ${\boldsymbol {M}}$ calcolato come:

$\mathbf {M} =\mathbf {p} \times \mathbf {E}$

Il momento meccanico legato al momento di dipolo elettrico è un caso unico di momento meccanico sempre esclusivamente flettente.

Potenziale elettrico

Schematizzazione del potenziale elettrico generato da un dipolo orientato orizzontalmente.

Il valore del potenziale elettrostatico generato nel punto dello spazio identificato dal vettore ${\textstyle \mathbf {r} }$ da una distribuzione discreta di cariche è:

$V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{i=1}^{N}{\frac {q_{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|}}$

dove con ${\textstyle \mathbf {r} _{i}}$ si è indicato il vettore posizione della i-esima carica puntiforme, ε è la permittività elettrica del mezzo (questa equazione vale anche in un mezzo diverso dal vuoto).

Da questa formula generale è possibile ricavare il caso particolare del potenziale generato da un dipolo, ovvero un sistema di due cariche uguali in valore assoluto ma di segno opposto ${\textstyle {q_{1}}=q}$ e ${\textstyle {q_{2}}=-q}$ rispettivamente ubicate in ${\textstyle \mathbf {r_{1}} }$ e ${\textstyle \mathbf {r_{2}} }$ (dove, consistentemente con la succitata definizione di $\mathbf {d}$, poniamo ${\textstyle \mathbf {r_{1}} ={\frac {\mathbf {d} }{2}}}$ e ${\textstyle \mathbf {r_{2}} =-{\frac {\mathbf {d} }{2}}}$, cosicché il vettore distanza tra le due cariche (${\textstyle \mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }$) sia effettivamente ${\textstyle \mathbf {d} }$).

Il potenziale sarà la sovrapposizione (e quindi la somma) dei potenziali delle singole cariche:

${\begin{aligned}V(\mathbf {r} )&={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}||\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {|\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}}|-|\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}}|}{|\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}}||\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}}|}}\end{aligned}}$

Ora per $r\gg d$, per il denominatore, si avrà che :

$|\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}}||\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}}|\approx r^{2}$

Mentre per il numeratore, osservando che ${\textstyle \theta }$ è l'angolo tra il vettore ${\textstyle \mathbf {r} }$ e il vettore ${\textstyle \mathbf {d} }$ (e di conseguenza anche tra ${\textstyle \mathbf {r} }$ e ${\textstyle \mathbf {p} }$), si ottiene

${\begin{aligned}|\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}}|-|\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}}|={\sqrt {(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}})\cdot (\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}})}}-{\sqrt {(\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}})\cdot (\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}})}}=\\\left[r^{2}+rd\cos {\theta }+\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}-\left[r^{2}-rd\cos {\theta }+\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}=\\r\left(\left[1+{\frac {d}{r}}\cos {\theta }+\left({\frac {d}{2r}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}-\left[1-{\frac {d}{r}}\cos {\theta }+\left({\frac {d}{2r}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}\right)\end{aligned}}$

da cui, trascurando i termini di ordine ${\textstyle \left({\frac {d}{r}}\right)^{2}}$, attraverso lo sviluppo di Taylor troncato al prim'ordine si ha che:

$|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|\approx d\cos \theta$

da cui, finalmente, si ottiene la seguente espressione per il potenziale di dipolo:

$$V_{\mathbf {p} }(\mathbf {r} )={\frac {qd\cos \theta }{4\pi \varepsilon r^{2}}}={\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }{4\pi \varepsilon r^{3}}}$$

dove si è contratta la notazione sfruttando il prodotto scalare:

$\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} =r\,p\cos \theta =r\,(q\,d)\cos {\theta }=q\,r\,d\cos {\theta }$

Il potenziale risulta quindi essere nullo sul piano perpendicolare al dipolo (${\textstyle \theta =\pm {\frac {\pi }{2}}}$) e passante per il suo centro, e diminuisce con l'inverso del quadrato della distanza. Da notare che le considerazioni riguardanti il dipolo valgono formalmente sia nel vuoto che in presenza di materia quando $d\ll r$.

Campo elettrico

Ricordando la conservatività del campo elettrostatico tramite:

$\mathbf {E} _{0}=-\mathbf {\nabla } V_{0}$

possiamo ricavare il campo elettrico in coordinate polari sferiche oppure in coordinate cartesiane (il dipolo è orientato secondo l'asse z):

${\begin{cases}E_{0r}=-{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial r}}={\dfrac {2p\cos \theta }{4\pi \varepsilon r^{3}}}\\\\E_{0\theta }=-{\dfrac {1}{r}}{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial \theta }}={\dfrac {p\sin \theta }{4\pi \varepsilon r^{3}}}\\\\E_{0\phi }=-{\dfrac {1}{r\sin \theta }}{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial \phi }}=0\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}E_{0x}=-{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial x}}={\dfrac {p}{4\pi \varepsilon }}{\dfrac {3xz}{r^{5}}}\\\\E_{0y}=-{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial y}}={\dfrac {p}{4\pi \varepsilon }}{\dfrac {3yz}{r^{5}}}\\\\E_{0z}=-{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial z}}={\dfrac {p}{4\pi \varepsilon }}\left[{\dfrac {3z^{2}}{r^{5}}}-{\dfrac {1}{r^{3}}}\right]={\dfrac {p}{4\pi \varepsilon }}{\dfrac {3z^{2}-r^{2}}{r^{5}}}\end{cases}}$

con intensità pari a:

$|\mathbf {E} _{0}(r,\phi ,\psi )|=|\mathbf {E} _{0}(x,y,z)|={\frac {p{\sqrt {1+3\cos ^{2}\theta }}}{4\pi \varepsilon r^{3}}}={\frac {p{\sqrt {(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}+3z^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})}}}{4\pi \varepsilon r^{5}}}$.

Si può ancora scrivere il campo come gradiente del prodotto tra il momento elettrico e il versore della distanza ridotto del quadrato della stessa. Il calcolo di tale quantità porta alla seguente espressione, più compatta:

$\mathbf {E} ={\frac {3\left(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {r} -r^{2}\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon r^{5}}}$

Energia potenziale elettrostatica

Se un dipolo è sottoposto a forze in un campo elettrico esterno qualunque, l'energia potenziale elettrostatica del dipolo è data dalla differenza di potenziale tra le due cariche, supposte come al solito molto vicine:

${\begin{aligned}U&=q\left[V(x+dx,y+dy,z+dz)-V(x,y,z)\right]\\&=q\left[V(x,y,z)+\mathbf {\nabla } V\cdot \mathbf {{\mbox{d}}\delta } -V(x,y,z)\right]\\&=q\mathbf {{\mbox{d}}\delta } \cdot \mathbf {\nabla } V(x,y,z)\\&=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} (x,y,z)\end{aligned}}$

dove $\mathbf {{\mbox{d}}\delta } =(dx,dy,dz)$ e $\mathbf {p} =q\mathbf {{\mbox{d}}\delta }$ è il momento elettrico del dipolo. Esplicitando il prodotto scalare:

$U=-pE\cos \theta$

con $\theta$ che rappresenta l'angolo compreso tra i due vettori.

Forze agenti su un dipolo elettrico immerso in un campo elettrico esterno

Dinamica

Il lavoro della coppia elettrica vale:

${\mbox{d}}L=\mathbf {F} \cdot {\mbox{d}}\mathbf {r} +\mathbf {M} \cdot {\mbox{d}}{\boldsymbol {\theta }}$

D'altro canto, differenziando l'energia del dipolo:

${\mbox{d}}U={\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}\cdot \mathbf {{\mbox{d}}r} +{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\mbox{d}}\theta =\mathbf {\nabla } U\cdot \mathbf {{\mbox{d}}(r,\theta )}$

dove si è fatto uso della derivata direzionale poiché per definizione l'energia potenziale appartiene alla prima classe di continuità. A questo punto si possono confrontare le due espressioni precedenti in particolare per il campo elettrico e, tenendo presente che il gradiente agisce solo sulle coordinate x,y,z e la dipendenza da $\theta$ è contenuta solo nel prodotto scalare:

$\mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } U=(\mathbf {p} \cdot \nabla )\mathbf {E} \qquad \mathbf {M} =\mathbf {p} \times \mathbf {E}$

Siano, ora, due dipoli $\mu _{1}$ e $\mu _{2}$ che formano con la loro congiungente un angolo rispettivamente di $\theta _{1}$ e $\theta _{2}$. L'energia potenziale elettrica sarà

$U={\frac {\mu _{1}\mu _{2}}{r^{3}}}\left(2\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\cos \varphi \right)$

dove $\varphi$ è l'azimut di $\mu _{2}$ rispetto al piano $\mu _{1}$-$r$.

Radiazione di dipolo oscillante

Un dipolo elettrico oscillante è un dipolo che ha polarizzazione elettrica dipendente periodicamente dal tempo, che può essere descritto da serie di Fourier formate da fattori della forma:

$\mathbf {p} =\mathbf {p'(\mathbf {r} )} e^{-i\omega t}$

dove $\omega$ è la frequenza angolare. Nel vuoto i campi prodotti sono:

$\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left\{{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}r}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} )\times {\hat {\mathbf {r} }}+\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {i\omega }{cr^{2}}}\right)\left[3{\hat {\mathbf {r} }}({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} )-\mathbf {p} \right]\right\}e^{i\omega r/c}$

$\mathbf {B} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \left(1-{\frac {c}{i\omega r}}\right){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}$

In una posizione distante dal dipolo, per $\scriptstyle r\omega /c\gg 1$, i campi tendono a formare un'onda sferica nella configurazione limite:

$\mathbf {B} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} ){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}\qquad \mathbf {E} =c\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}$

che produce una potenza totale, mediata nel tempo, data da:

$P={\frac {\omega ^{4}}{12\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}|\mathbf {p} |^{2}$

L'energia associata alla radiazione emessa non viene distribuita in modo isotropo, essendo concentrata intorno alla direzione perpendicolare al momento di dipolo, e tale equazione viene spesso descritta tramite l'utilizzo delle armoniche sferiche.

Il campo elettromagnetico associato al dipolo oscillante è alla base di numerose applicazioni tecnologiche, a partire dall'antenna a dipolo.

Molecole

In chimica il momento elettrico di una molecola si riferisce alla somma vettoriale di tutti i momenti di legame presenti nella molecola stessa. Una molecola non polare possiede momento elettrico uguale a zero: questo è il caso, ad esempio, del metano o del biossido di carbonio le cui strutture geometriche (rispettivamente tetraedrica e lineare) annullano l'effetto dei singoli momenti dipolari di legame (il risultante è nullo). Legami omogenei, come quelli tra due atomi di cloro per formare una molecola Cl₂, non sono polari, essendo la differenza di elettronegatività nulla, e quindi non originano un momento elettrico. Comunemente si orienta il vettore momento elettrico delle entità chimiche con il verso rivolto verso la carica negativa, che corrisponde all'elemento più elettronegativo.

Bibliografia

• Corrado Mencuccini e Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
• John D. Jackson, Elettrodinamica classica, traduzione di A. Barbieri, 3ª ed., Zanichelli, 2001, pp. 146, 400-403, ISBN 978-88-08-09153-6.

Voci correlate

• Campo elettrico
• Carica elettrica
• Dipolo magnetico
• Dipolo molecolare
• Radiazione di dipolo elettrico
• Sviluppo in multipoli

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