It is important to get more knowledge about the impact of the use of technology on the learning o... more It is important to get more knowledge about the impact of the use of technology on the learning of mathematics. Recent research shows that the use of digital equipment and software is related to better mathematical skills, but excessive use of digital resources may disturb concentration on learning. This special issue presents five papers on different areas of technology in mathematics education.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovat tas... more Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovat tason pisteissä (0, 0), (3, −1), (2, 2), (4, 3), (−2, 2) ja (1, 1). Laske M :n pinta-ala.-2-1 0 1 2 3 4-1 0 1 2 3 M Esitän tässä kirjoituksessa tehtävälle kaksi keskenään samantapaista ratkaisua, jotka vaativat ainoastaan jo peruskoulun yläluokkien oppilaiden hallitsemia alkeis-geometrian tietoja. Jatkan samasta aiheesta Solmun jossakin tulevassa numerossa kirjoituksella "Monikul-mion pinta-ala ylioppilaille", jossa esitän tehtävälle tyystin erilaisen ratkaisun. Tuo ratkaisu edellyttää vek-torianalyysin perusteita, jotka opitaan vasta yliopisto-matematiikan alussa. Monikulmion ositus Osituksella tarkoitetaan monikulmion jakoa äärelliseen määrään uusia monikulmioita, jotka sisältyvät alkupe-räiseen monikulmioon peittäen sen kokonaan ja jotka kohtaavat toisiaan vain reunoiltaan. Vaatimuksista seu-raa, että alkuperäisen monikulmion pinta-ala on sama kuin osituksen monikulmioiden yhte...
1 * Abstract: We consider reflection principle for classical solutions of the homoge- neous real ... more 1 * Abstract: We consider reflection principle for classical solutions of the homoge- neous real Monge-Ampere equation. We show that both the odd and the even reflected functions satisfy the Monge-Ampere equation if the second-order partial derivatives have continuous limits on the reflection boundary. In addition to suf- ficient conditions, we give some necessary conditions. Before stating the main results, we present elementary formulas for the reflected functions and study their differentiability properties across the reflection boundary. As an important special case, we finally consider extension of polynomials satisfying the homogeneous Monge-Ampere equation.
We define Sobolev capacity on the generalized Sobolev space W (R). It is a Choquet capacity provi... more We define Sobolev capacity on the generalized Sobolev space W (R). It is a Choquet capacity provided that the variable exponent p : R → [1,∞) is bounded away from 1 and ∞. We discuss the relation between the Hausdorff dimension and the Sobolev capacity. As another application we study quasicontinuous representatives in the space W (R).
We prove that the reflection principle holds for viscosity solutions of the homogeneous real Mong... more We prove that the reflection principle holds for viscosity solutions of the homogeneous real Monge–Ampère equation. Before stating our main result we consider the reflection of convex functions and viscosity suband supersolutions of the real Monge–Ampère equation. Only elementary arguments provided by the concepts of even reflection and viscosity solution are used to obtain the results.
Solmun numeros-sa on luettavissa uusia sammakoita. Tässä numerossa julkaistava toimittaja Aarno L... more Solmun numeros-sa on luettavissa uusia sammakoita. Tässä numerossa julkaistava toimittaja Aarno Laitisen kirjoitus koostuu hänen yhteiskunnan eri aloilta huo-mioimistaan sammakoista ja yleisemminkin laskutai-don katoamisesta. Laitisen mainitsema verovoutien väi-te valtiolta harmaan talouden takia saamatta jäämien lähes 10 miljardin euron verotuloista vuodessa on he-rättänyt keskustelua Solmun keskustelupalstalla, tästä voitte lukea lisää verkkosivuiltamme. Myös professori Matti Seppälä on havainnoinut lasku-taitoon ja numeroiden lukutaitoon liittyviä sammakoi-ta. Seppälän ensimmäinen kirjoitus aiheesta oli Solmus-sa 1/2004, ja tässä numerossa hän jatkaa aiheesta uu-della kirjoituksella. Löydätkö seuraavien poimintojen virheet? Sammakoi-den selityksiä ja korjauksia julkaistaan Solmun seuraa-vissa numeroissa. "Nyt verokanta on nolla. Siihen saadaan sadan prosen-tin nosto hyvinkinäkkiähyvinkin¨hyvinkinäkkiä. Komissiolla voisi olla veron nostamiseen hyvinkin intressejä, koska siell...
It is important to get more knowledge about the impact of the use of technology on the learning o... more It is important to get more knowledge about the impact of the use of technology on the learning of mathematics. Recent research shows that the use of digital equipment and software is related to better mathematical skills, but excessive use of digital resources may disturb concentration on learning. This special issue presents five papers on different areas of technology in mathematics education.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovat tas... more Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovat tason pisteissä (0, 0), (3, −1), (2, 2), (4, 3), (−2, 2) ja (1, 1). Laske M :n pinta-ala.-2-1 0 1 2 3 4-1 0 1 2 3 M Esitän tässä kirjoituksessa tehtävälle kaksi keskenään samantapaista ratkaisua, jotka vaativat ainoastaan jo peruskoulun yläluokkien oppilaiden hallitsemia alkeis-geometrian tietoja. Jatkan samasta aiheesta Solmun jossakin tulevassa numerossa kirjoituksella "Monikul-mion pinta-ala ylioppilaille", jossa esitän tehtävälle tyystin erilaisen ratkaisun. Tuo ratkaisu edellyttää vek-torianalyysin perusteita, jotka opitaan vasta yliopisto-matematiikan alussa. Monikulmion ositus Osituksella tarkoitetaan monikulmion jakoa äärelliseen määrään uusia monikulmioita, jotka sisältyvät alkupe-räiseen monikulmioon peittäen sen kokonaan ja jotka kohtaavat toisiaan vain reunoiltaan. Vaatimuksista seu-raa, että alkuperäisen monikulmion pinta-ala on sama kuin osituksen monikulmioiden yhte...
1 * Abstract: We consider reflection principle for classical solutions of the homoge- neous real ... more 1 * Abstract: We consider reflection principle for classical solutions of the homoge- neous real Monge-Ampere equation. We show that both the odd and the even reflected functions satisfy the Monge-Ampere equation if the second-order partial derivatives have continuous limits on the reflection boundary. In addition to suf- ficient conditions, we give some necessary conditions. Before stating the main results, we present elementary formulas for the reflected functions and study their differentiability properties across the reflection boundary. As an important special case, we finally consider extension of polynomials satisfying the homogeneous Monge-Ampere equation.
We define Sobolev capacity on the generalized Sobolev space W (R). It is a Choquet capacity provi... more We define Sobolev capacity on the generalized Sobolev space W (R). It is a Choquet capacity provided that the variable exponent p : R → [1,∞) is bounded away from 1 and ∞. We discuss the relation between the Hausdorff dimension and the Sobolev capacity. As another application we study quasicontinuous representatives in the space W (R).
We prove that the reflection principle holds for viscosity solutions of the homogeneous real Mong... more We prove that the reflection principle holds for viscosity solutions of the homogeneous real Monge–Ampère equation. Before stating our main result we consider the reflection of convex functions and viscosity suband supersolutions of the real Monge–Ampère equation. Only elementary arguments provided by the concepts of even reflection and viscosity solution are used to obtain the results.
Solmun numeros-sa on luettavissa uusia sammakoita. Tässä numerossa julkaistava toimittaja Aarno L... more Solmun numeros-sa on luettavissa uusia sammakoita. Tässä numerossa julkaistava toimittaja Aarno Laitisen kirjoitus koostuu hänen yhteiskunnan eri aloilta huo-mioimistaan sammakoista ja yleisemminkin laskutai-don katoamisesta. Laitisen mainitsema verovoutien väi-te valtiolta harmaan talouden takia saamatta jäämien lähes 10 miljardin euron verotuloista vuodessa on he-rättänyt keskustelua Solmun keskustelupalstalla, tästä voitte lukea lisää verkkosivuiltamme. Myös professori Matti Seppälä on havainnoinut lasku-taitoon ja numeroiden lukutaitoon liittyviä sammakoi-ta. Seppälän ensimmäinen kirjoitus aiheesta oli Solmus-sa 1/2004, ja tässä numerossa hän jatkaa aiheesta uu-della kirjoituksella. Löydätkö seuraavien poimintojen virheet? Sammakoi-den selityksiä ja korjauksia julkaistaan Solmun seuraa-vissa numeroissa. "Nyt verokanta on nolla. Siihen saadaan sadan prosen-tin nosto hyvinkinäkkiähyvinkin¨hyvinkinäkkiä. Komissiolla voisi olla veron nostamiseen hyvinkin intressejä, koska siell...
Uploads
Papers by Mika Koskenoja