Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2021
For E ⊂ F d q , d ≥ 2, where Fq is the finite field with q elements, we consider the distance gra... more For E ⊂ F d q , d ≥ 2, where Fq is the finite field with q elements, we consider the distance graph G dist t (E), t = 0, where the vertices are the elements of E, and two vertices x, y are connected by an edge if ||x − y|| ≡ (x 1 − y 1) 2 + • • • + (x d − y d) 2 = t. We prove that if |E| ≥ C k q d+2 2 , then G dist t (E) contains a statistically correct number of cycles of length k. We are also going to consider the dot-product graph G prod t (E), t = 0, where the vertices are the elements of E, and two vertices x, y are connected by an edge if x • y ≡ x 1 y 1 + • • • + x d y d = t. We obtain similar results in this case using more sophisticated methods necessitated by the fact that the function x • y is not translation invariant. The exponent d+2 2 is improved for sufficiently long cycles. Contents 1. Introduction 1 2. Paths on the Dot Product Graph of E 6 3. Proof of the Main Theorem 9 4. Existence of Non-Degenerate Cycles 18 References 22
Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 2017
We derive a general state sum construction for 2D topological quantum field theories (TQFTs) with... more We derive a general state sum construction for 2D topological quantum field theories (TQFTs) with source defects on oriented curves, extending the state-sum construction from special symmetric Frobenius algebra for 2D TQFTs without defects (cf. Lauda and Pfeiffer [State-sum construction of two-dimensional open-closed topological quantum field theories, J. Knot Theory Ramifications 16 (2007) 1121–1163, doi: 10.1142/S0218216507005725]). From the extended Pachner moves (Crane and Yetter [Moves on filtered PL manifolds and stratified PL spaces, arXiv:1404.3142 ]), we derive equations that we subsequently translate into string diagrams so that we can easily observe their properties. As in Dougherty, Park and Yetter [On 2-dimensional Dijkgraaf–Witten theory with defects, to appear in J. Knots Theory Ramifications], we require that triangulations be flaglike, meaning that each simplex of the triangulation is either disjoint from the defect curve, or intersects it in a closed face, and that...
Trudy Matematicheskogo Instituta imeni V.A. Steklova, 2021
Пусть $E \subset \mathbb F_q^d$ - подмножество линейного пространства размерности $d \ge 2$ над к... more Пусть $E \subset \mathbb F_q^d$ - подмножество линейного пространства размерности $d \ge 2$ над конечным полем $\mathbb F_q$ порядка $q$. В работе рассматривается так называемый граф расстояний $\mathcal G^{dist}_t(E)$, $t\neq 0$, в котором множеством вершин является $E$ и при этом две вершины $x$, $y$ соединены ребром, если $\|x-y\| \equiv (x_1-y_1)^2+…+(x_d-y_d)^2=t$. Доказано, что при условии $|E| \ge C_k q^{\frac {d+2}{2}}$ граф $\mathcal G^{dist}_t(E)$ содержит правильное по порядку роста число циклов длины $k$. Также рассматривается граф скалярных произведений $\mathcal G^{prod}_t(E)$, $t\neq 0$, где в качестве множества вершин снова выступает $E$, а вершины $x$, $y$ соединены ребром, если $x\cdot y \equiv x_1y_1+…+x_dy_d=t$. Аналогичные результаты получены и в этом случае, но методы доказательства несколько сложнее, поскольку функция $x\cdot y$ не инвариантна относительно сдвигов. При этом для достаточно длинных циклов показатель $\frac {d+2}{2}$ может быть уменьшен.
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2021
For E ⊂ F d q , d ≥ 2, where Fq is the finite field with q elements, we consider the distance gra... more For E ⊂ F d q , d ≥ 2, where Fq is the finite field with q elements, we consider the distance graph G dist t (E), t = 0, where the vertices are the elements of E, and two vertices x, y are connected by an edge if ||x − y|| ≡ (x 1 − y 1) 2 + • • • + (x d − y d) 2 = t. We prove that if |E| ≥ C k q d+2 2 , then G dist t (E) contains a statistically correct number of cycles of length k. We are also going to consider the dot-product graph G prod t (E), t = 0, where the vertices are the elements of E, and two vertices x, y are connected by an edge if x • y ≡ x 1 y 1 + • • • + x d y d = t. We obtain similar results in this case using more sophisticated methods necessitated by the fact that the function x • y is not translation invariant. The exponent d+2 2 is improved for sufficiently long cycles. Contents 1. Introduction 1 2. Paths on the Dot Product Graph of E 6 3. Proof of the Main Theorem 9 4. Existence of Non-Degenerate Cycles 18 References 22
Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 2017
We derive a general state sum construction for 2D topological quantum field theories (TQFTs) with... more We derive a general state sum construction for 2D topological quantum field theories (TQFTs) with source defects on oriented curves, extending the state-sum construction from special symmetric Frobenius algebra for 2D TQFTs without defects (cf. Lauda and Pfeiffer [State-sum construction of two-dimensional open-closed topological quantum field theories, J. Knot Theory Ramifications 16 (2007) 1121–1163, doi: 10.1142/S0218216507005725]). From the extended Pachner moves (Crane and Yetter [Moves on filtered PL manifolds and stratified PL spaces, arXiv:1404.3142 ]), we derive equations that we subsequently translate into string diagrams so that we can easily observe their properties. As in Dougherty, Park and Yetter [On 2-dimensional Dijkgraaf–Witten theory with defects, to appear in J. Knots Theory Ramifications], we require that triangulations be flaglike, meaning that each simplex of the triangulation is either disjoint from the defect curve, or intersects it in a closed face, and that...
Trudy Matematicheskogo Instituta imeni V.A. Steklova, 2021
Пусть $E \subset \mathbb F_q^d$ - подмножество линейного пространства размерности $d \ge 2$ над к... more Пусть $E \subset \mathbb F_q^d$ - подмножество линейного пространства размерности $d \ge 2$ над конечным полем $\mathbb F_q$ порядка $q$. В работе рассматривается так называемый граф расстояний $\mathcal G^{dist}_t(E)$, $t\neq 0$, в котором множеством вершин является $E$ и при этом две вершины $x$, $y$ соединены ребром, если $\|x-y\| \equiv (x_1-y_1)^2+…+(x_d-y_d)^2=t$. Доказано, что при условии $|E| \ge C_k q^{\frac {d+2}{2}}$ граф $\mathcal G^{dist}_t(E)$ содержит правильное по порядку роста число циклов длины $k$. Также рассматривается граф скалярных произведений $\mathcal G^{prod}_t(E)$, $t\neq 0$, где в качестве множества вершин снова выступает $E$, а вершины $x$, $y$ соединены ребром, если $x\cdot y \equiv x_1y_1+…+x_dy_d=t$. Аналогичные результаты получены и в этом случае, но методы доказательства несколько сложнее, поскольку функция $x\cdot y$ не инвариантна относительно сдвигов. При этом для достаточно длинных циклов показатель $\frac {d+2}{2}$ может быть уменьшен.
Uploads
Papers by Gail Jardine