Presentasi grup

Dalam matematika, presentasi adalah salah satu metode untuk menentukan grup. Presentasi dari grup G terdiri dari satu set S dari generator, sehingga setiap elemen grup dapat ditulis sebagai produk kekuatan dari beberapa generator ini, dan satu himpunan R dari relasi di antara generator tersebut. Kami kemudian mengatakan G memiliki presentasi

\langle S\mid R\rangle .

Secara informal, G memiliki presentasi di atas jika itu adalah "grup paling bebas" yang dihasilkan oleh S yang hanya tunduk pada relasi R . Secara formal, grup G dikatakan memiliki presentasi di atas jika isomorfik ke hasil bagi dari grup bebas pada S bebas oleh subgrup normal dihasilkan oleh relasi R .

Sebagai contoh sederhana, grup siklik dengan urutan n memiliki penyajian

\langle a\mid a^{n}=1\rangle ,

dimana 1 adalah identitas grup. Ini dapat ditulis sama dengan

\langle a\mid a^{n}\rangle ,

berkat konvensi bahwa istilah-istilah yang tidak menyertakan tanda sama dengan dianggap sama dengan identitas grup. Istilah seperti itu disebut relator, membedakannya dari relasi yang menyertakan tanda sama dengan.

Setiap kelompok memiliki presentasi, dan ternyata banyak presentasi yang berbeda; presentasi sering kali merupakan cara paling ringkas untuk mendeskripsikan struktur grup.

Sebuah konsep yang terkait erat tetapi berbeda adalah konsep presentasi mutlak dari suatu grup.

Latar Belakang

Grup bebas pada himpunan S adalah grup di mana setiap elemen dapat secara unik dijelaskan sebagai produk panjang terbatas dari bentuk:

s_{1}^{a_{1}}s_{2}^{a_{2}}\cdots s_{n}^{a_{n}}

dimana s_i adalah elemen S, berdekatan s_i berbeda, dan a_i adalah bilangan bulat bukan nol (tetapi n bisa jadi nol). Dalam istilah yang kurang formal, grup tersebut terdiri dari kata-kata di generator dan inversnya , hanya tunduk pada pembatalan generator dengan kejadian invers yang berdekatan.

Jika G adalah grup apa pun, dan S adalah subset yang menghasilkan dari G , maka setiap elemen G juga berbentuk di atas; namun secara umum, produk ini tidak akan secara unik menggambarkan elemen G .

Misalnya, grup dihedral D₈ berorde enam belas dapat dihasilkan oleh rotasi, r , berorde 8; dan flip, f, of order 2; dan tentunya setiap elemen D ₈ adalah produk dari r' dan f'.

Namun, kami memiliki, misalnya, $rfr = f$ , $r 7 = r -1$ , dll., jadi produk seperti itu tidak unik di D₈. Masing-masing produk ekuivalen dapat diekspresikan sebagai persamaan dengan identitas, seperti

rfrf = 1

,

r 8 = 1

, or

f ‍ 2 = 1

.

Secara informal, kita dapat menganggap produk ini di sisi kiri sebagai elemen dari grup bebas $F = < r, f >$ , dan dapat mempertimbangkan subgrup R dari F yang dihasilkan oleh string ini; masing-masing juga akan sama dengan 1 jika dianggap sebagai produk dalam D₈.

Jika kemudian kita membiarkan N menjadi subgrup dari F yang dihasilkan oleh semua konjugasi x⁻¹Rx dari R , maka berikut definisi bahwa setiap elemen N adalah produk hingga x₁⁻¹r₁x₁ ... x_m⁻¹r_m x_m of anggota konjugat tersebut. Oleh karena itu, setiap elemen N , jika dianggap sebagai produk pada D₈, juga akan mengevaluasi ke 1; dan dengan demikian N adalah subgrup normal dari F . Jadi D₈ isomorfik ke grup hasil bagi $F / N$ . Kami kemudian mengatakan bahwa D₈ memiliki presentasi

\langle r,f\mid r^{8}=1,f^{2}=1,(rf)^{2}=1\rangle .

Di sini himpunan generatornya $S = {r, f$ }, dan himpunan relasinya adalah $R = {r 8 = 1, f 2 = 1, (rf) 2 = 1}$ . Kita sering melihat R disingkat, memberikan presentasi

\langle r,f\mid r^{8}=f^{2}=(rf)^{2}=1\rangle .

Bentuk yang lebih pendek menghilangkan tanda-tanda kesetaraan dan identitas, untuk mendaftar hanya himpunan relator, yaitu ${r 8, f 2, (rf) 2}$ . Melakukan ini memberikan presentasi

\langle r,f\mid r^{8},f^{2},(rf)^{2}\rangle .

Ketiga presentasi itu setara.

Notasi

Meskipun notasi $Templat:Braket$ digunakan dalam artikel ini untuk presentasi sekarang yang paling umum, penulis sebelumnya menggunakan variasi yang berbeda pada format yang sama. Notasi tersebut meliputi:^{[butuh rujukan]}

$Templat:Braket$
$(S | R)$
${S; R$ }
$⟨ S; R ⟩$

Definisi

Maka S menjadi satu set dan biarkan F_S jadilah grup gratis di S . Misalkan R menjadi satu himpunan kata-kata pada S , jadi R secara alami memberikan subset dari $F_{S}$ . Untuk membentuk grup dengan presentasi $\langle S\mid R\rangle$ , ambil hasil bagi dari $F_{S}$ oleh subgrup normal terkecil yang berisi setiap elemen R . (Subgrup ini disebut penutupan normal N dari R di $F_{S}$ .) Grup $\langle S\mid R\rangle$ kemudian ditentukan sebagai grup hasil bagi

\langle S\mid R\rangle =F_{S}/N.

Elemen S disebut generator dari $\langle S\mid R\rangle$ dan elemen R disebut relator. Grup G dikatakan memiliki presentasi $\langle S\mid R\rangle$ if G isomorfik menjadi $\langle S\mid R\rangle$ .^[1]

Merupakan praktik umum untuk menulis relator dalam bentuk $x=y$ di mana x dan y adalah kata-kata di S . Artinya adalah itu $y^{-1}x\in R$ . Ini memiliki arti intuitif bahwa gambar x dan y seharusnya sama dalam kelompok hasil bagi. Jadi, misalnya, rⁿ dalam daftar relator sama dengan $r^{n}=1$ .^[1]

Untuk grup hingga G , dimungkinkan untuk membuat presentasi G dari tabel perkalian grup, sebagai berikut. Ambil S sebagai elemen set $g_{i}$ dari G dan R menjadi semua kata dalam bentuk $g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}$ , dimana $g_{i}g_{j}=g_{k}$ adalah entri dalam tabel perkalian.

Definisi alternatif

Definisi presentasi kelompok dapat disusun kembali dalam istilah kelas ekivalen dari kata-kata pada alfabet $S\cup S^{-1}$ . Dalam perspektif ini, kami mendeklarasikan dua kata menjadi setara jika memungkinkan untuk berpindah dari satu kata ke kata lain dengan serangkaian gerakan, di mana setiap gerakan terdiri dari menambah atau menghapus pasangan yang berurutan $xx^{-1}$ or $x^{-1}x$ untuk beberapa $x$ di $S$ , atau dengan menambahkan atau menghapus salinan relator yang berurutan. Elemen grup adalah kelas kesetaraan, dan operasi grup adalah penggabungan.^[1]

Sudut pandang ini sangat umum di bidang teori grup kombinatorial.

Grup disajikan dengan sempurna

Presentasi dikatakan dihasilkan secara terbatas jika S terbatas dan terkait dengan batas jika R terbatas. Jika keduanya terbatas maka dikatakan sebagai presentasi yang terbatas. Sebuah grup dihasilkan secara tak terbatas (masing-masing terkait secara tak terbatas, disajikan dengan halus) jika itu memiliki presentasi yang dihasilkan secara terbatas (masing-masing terkait dengan halus, presentasi terbatas). Grup yang memiliki presentasi terbatas dengan satu relasi disebut grup relator satu.

Grup yang disajikan secara rekursif

Jika S diindeks oleh satu set I yang terdiri dari semua bilangan asli N atau subset yang terbatas dari mereka, maka mudah untuk mengatur pengkodean sederhana satu ke satu f : F_S → N dari grup bebas di S ke bilangan asli, sehingga kita dapat menemukan algoritme yang, diberikan f ( w ), hitung w , dan sebaliknya. Kami kemudian dapat memanggil subset U dari F_S rekursif (masing-masing dapat dihitung secara rekursif) jika f ( U ) adalah rekursif (masing-masing dapat dihitung secara rekursif). Jika S diindeks seperti di atas dan R dapat dihitung secara rekursif, maka penyajiannya adalah penyajian rekursif dan grup yang sesuai adalah disajikan secara rekursif. Penggunaan ini mungkin tampak aneh, tetapi dapat dibuktikan bahwa jika sebuah grup memiliki presentasi dengan R yang dapat dihitung secara rekursif, maka grup tersebut memiliki presentasi lain dengan R rekursif.

Setiap grup yang disajikan secara halus disajikan secara rekursif, tetapi ada grup yang disajikan secara rekursif yang tidak dapat disajikan secara halus. Namun, teorema Graham Higman menyatakan bahwa grup yang dihasilkan tak terhingga memiliki presentasi rekursif jika dan hanya jika dapat disematkan dalam grup yang disajikan tak terhingga. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ada (hingga isomorfisme) hanya terhitung banyak grup disajikan rekursif yang dihasilkan secara halus. Bernhard Neumann telah menunjukkan bahwa terdapat terhitung banyak dua kelompok generator non-isomorfik. Oleh karena itu, ada grup yang dibuat secara terbatas yang tidak dapat disajikan secara rekursif.

Sejarah

Salah satu presentasi paling awal dari grup oleh generator dan hubungan diberikan oleh ahli matematika Irlandia William Rowan Hamilton pada tahun 1856, dalam kalkulus icosian presentasi dari grup Katedral.^[2] Studi sistematis pertama diberikan oleh Walther von Dyck, siswa Felix Klein, pada awal 1880-an, meletakkan dasar untuk teori grup kombinatorial.^[3]

Contoh

Tabel berikut mencantumkan beberapa contoh presentasi untuk kelompok yang umum dipelajari. Perhatikan bahwa dalam setiap kasus ada banyak presentasi lain yang memungkinkan. Presentasi yang terdaftar belum tentu yang paling efisien.

Grup	Presentasi	Komentar
grup bebas pada S	$\langle S\mid \varnothing \rangle$	Grup bebas adalah "bebas" dalam arti tidak ada hubungan.
C_n, grup siklik dengan urutan n	$\langle a\mid a^{n}\rangle$
D_n, grup dihedral ketertiban 2n	$\langle r,f\mid r^{n},f^{2},(rf)^{2}\rangle$	Di sini r mewakili rotasi dan f refleksi
D_∞, grup hingga	$\langle r,f\mid f^{2},(rf)^{2}\rangle$
Dic_n, grup siklik	$\langle r,f\mid r^{2n},r^{n}=f^{2},frf^{-1}=r^{-1}\rangle$	Grup hasil bagi Q₈ adalah kasus khusus ketika n = 2
Z × Z	$\langle x,y\mid xy=yx\rangle$
Z/mZ × Z/nZ	$\langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle$
grup abelian bebas 0ada S	$\langle S\mid R\rangle$ di mana R adalah himpunan dari semua komutator elemen S
S_n, grup simetris pada simbol n	generators: $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ relasi: $\sigma _{i}^{2}=1$ , $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ , $\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\$ Kumpulan relasi terakhir dapat diubah menjadi ${(\sigma _{i}\sigma _{i+1}})^{3}=1\$ using $\sigma _{i}^{2}=1$ .	Here σ_i adalah permutasi yang menukar elemen ith dengan i + 1 satu. Produk σ_iσ_i+1 adalah 3-siklus pada himpunan {i, i+1, i+2}.
B_n, grup Braid	generator: $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ relations: $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ , $\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\$	Perhatikan kesamaan dengan grup simetris; satu-satunya perbedaan adalah penghapusan relasi $\sigma _{i}^{2}=1$ .
T ≅ A₄, grup tetrahedral	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle$
O ≅ S₄, grup oktahedral	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle$
I ≅ A₅, kelompok ikosahedral	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle$
Q₈, grup hasil bagi	$\langle i,j\mid jij=i,iji=j\rangle \,$	Untuk presentasi alternatif lihat Dic_n di atas dengan n = 2.
SL(2, Z)	$\langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle$	topologis a dan b dapat divisualisasikan sebagai Dehn twist pada torus
GL(2, Z)	$\langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle$	nontrivial Z/2Z – ekstensi grup pada SL(2, Z)
PSL(2, Z), grup modular	$\langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle$	PSL(2, Z) adalah produk bebas dari grup siklik Z/2Z and Z/3Z
grup Heisenberg	$\langle x,y,z\mid z=xyx^{-1}y^{-1},xz=zx,yz=zy\rangle$
BS(m, n), Grup Baumslag–Solitar	$\langle a,b\mid a^{n}=ba^{m}b^{-1}\rangle$
grup Tits	$\langle a,b\mid a^{2},b^{3},(ab)^{13},[a,b]^{5},[a,bab]^{4},((ab)^{4}ab^{-1})^{6}\rangle$	[a, b] adalah komutator

Contoh grup yang dibuat secara terbatas yang disajikan tidak terbatas adalah produk karangan bunga $\mathbf {Z} \wr \mathbf {Z}$ dari grup bilangan bulat dengan dirinya sendiri.

Beberapa teorema

Teorema. Setiap grio memiliki presentasi.

Untuk melihat ini, diberi grup G , pertimbangkan grup bebas F_G pada G . Dengan sifat universal grup bebas, terdapat homomorfisme grup $φ : F G \to G$ yang batasannya untuk G adalah peta identitas. Misalkan K menjadi kernel dari homomorfisme ini. Kemudian K normal di F_G, Oleh karena itu sama dengan penutupan normalnya, jadi $⟨ G | K ⟩ = F G / K$ . Karena peta identitas bersifat surjektif, φ juga bersifat surjektif, jadi menurut Teorema Isomorfisme Pertama, $⟨ G | K ⟩ ≅ im(φ) = G$ . Presentasi ini mungkin sangat tidak efisien jika G dan K lebih besar dari yang diperlukan.

Korollari. Setiap grup terbatas memiliki presentasi yang terbatas.

Seseorang dapat mengambil elemen grup untuk generator dan tabel Cayley untuk relasi.

Teorema Novikov – Boone

Solusi negatif untuk masalah kata untuk grup menyatakan bahwa ada presentasi yang terbatas $⟨ S | R ⟩$ di mana tidak ada algoritma yang, diberikan dua kata u , v , memutuskan apakah u dan v mendeskripsikan elemen yang sama dalam grup. Hal ini ditunjukkan oleh Pyotr Novikov pada tahun 1955^[4] dan bukti yang berbeda diperoleh oleh William Boone pada tahun 1958.^[5]

Teori grup geometris

Presentasi dari sebuah grup menentukan sebuah geometri, dalam pengertian teori grup geometri: satu memiliki grafik Cayley, yang memiliki metrik, yang disebut metrik kata. Ini juga dua order yang dihasilkan, order lemah dan urutan Bruhat , dan diagram Hasse yang sesuai. Contoh penting ada di grup Coxeter.

Lebih lanjut, beberapa properti grafik ini (geometri kasar) bersifat intrinsik, yang berarti tidak bergantung pada pilihan generator.

Lihat pula

Catatan

^ ^a ^b ^c Peifer, David (1997). "An Introduction to Combinatorial Group Theory and the Word Problem". Mathematics Magazine. 70 (1): 3–10. doi:10.1080/0025570X.1997.11996491.
^ Sir William Rowan Hamilton (1856). "Memorandum respecting a new System of Roots of Unity" (PDF). Philosophical Magazine. 12: 446.
^ Stillwell, John (2002). Mathematics and its history. Springer. hlm. 374. ISBN 978-0-387-95336-6.
^ Novikov, Pyotr S. (1955), "On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (dalam bahasa Russian), 44: 1–143, Zbl 0068.01301
^ Boone, William W. (1958), "The word problem" (PDF), Proceedings of the National Academy of Sciences, 44 (10): 1061–1065, doi:10.1073/pnas.44.10.1061, PMC 528693 , PMID 16590307, Zbl 0086.24701

Referensi

Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9. ― Referensi yang berguna ini memiliki tabel presentasi dari semua kelompok terbatas kecil, kelompok refleksi, dan seterusnya.
Johnson, D. L. (1997). Presentations of Groups (edisi ke-2nd). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-58542-2. ― Metode Schreier, metode Nielsen, presentasi gratis, subkelompok dan ekstensi HNN, Teorema Golod–Shafarevich, dll.
Sims, Charles C. (1994). Computation with Finitely Presented Groups (edisi ke-1st). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-13507-8. ― algoritma dasar dari ilmu komputer teoritis, teori bilangan komputasi, dan aljabar komutatif komputasi, dll.

Pranala luar

(Inggris) de Cornulier, Yves. "Group Presentation". MathWorld.
Small groups and their presentations on GroupNames

[Peifer-1] Peifer, David (1997). "An Introduction to Combinatorial Group Theory and the Word Problem". Mathematics Magazine. 70 (1): 3–10. doi:10.1080/0025570X.1997.11996491.

[2] Sir William Rowan Hamilton (1856). "Memorandum respecting a new System of Roots of Unity" (PDF). Philosophical Magazine. 12: 446.

[stillwell374-3] Stillwell, John (2002). Mathematics and its history. Springer. hlm. 374. ISBN 978-0-387-95336-6.

[4] Novikov, Pyotr S. (1955), "On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (dalam bahasa Russian), 44: 1–143, Zbl 0068.01301

[5] Boone, William W. (1958), "The word problem" (PDF), Proceedings of the National Academy of Sciences, 44 (10): 1061–1065, doi:10.1073/pnas.44.10.1061, PMC 528693 , PMID 16590307, Zbl 0086.24701

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]