Barisan dan deret geometri

Barisan dan deret geometri atau dikenal sebagai barisan dan deret ukur dalam bidang matematika adalah jenis barisan dan deret di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Dengan kata lain, suatu barisan geometri hasil bagi atau rasio setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama.

Barisan geometri dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

$a$, $ar$, $ar^{2}$, $ar^{3}$, $\dots$

dengan $r$ adalah bilangan rasio pengali ($r\neq 0$) dan $a$ adalah faktor skala.

Suku barisan geometri

Misal $a_{n}$ adalah suku barisan geometri. Pada barisan di atas, dapat kita rumuskan sebagai

$a_{n}=ar^{n-1}$

Bukti
Kita misalkan $a_{1}=a$, dan $a_{2}=ar$. Kita teruskan untuk $a_{3},a_{4},\dots$. ${\begin{aligned}a_{3}&=ar^{2}\\a_{4}&=ar^{3}\\a_{5}&=ar^{4}\\&\vdots \end{aligned}}$ Dari kumpulan persamaan di atas, kita mendapati pola, yaitu $a_{n}=ar^{n-1}$.

Lebih umumnya, diberikan $n>m$ dan misal suku awal adalah $a_{m}$. Dari hasil di atas, diperoleh

$a_{m}=ar^{m-1}$

dan

$a_{n}=ar^{n-1}=ar^{m-1}r^{n-m}=a_{m}r^{n-m}$.

Rasio

Rasio adalah hasil bagi antara dua suku. Secara matematis dirumuskan

$r={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$.

Suku tengah

$a_{\frac {m+n}{2}}={\sqrt {a_{m}a_{n}}}$

Deret geometri

Deret geometri atau deret ukur ialah deret di mana suku pada barisan geometri dijumlahkan, maka didapati

$S_{n}={\begin{cases}{\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}},&{\text{jika }}r>1\\{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}},&{\text{jika }}r<1\end{cases}}$

dengan $S_{n}$ adalah deret geometri, dan $a$ adalah suku pertama.

Bukti deret geometri

Kita mulai dari kasus di mana $r<1$ $S_{n}=a+a\,r^{1}+a\,r^{2}+\cdots +a\,r^{n-2}+a\,r^{n-1}$ (1) Dengan mengalikan kedua ruas dengan $r$ memperoleh persamaan baru. $rS_{n}=ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}+ar^{n}$ (2) Persamaan (1) mengurangi (2) menghasilkan $S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n}$ Dengan menggunakan sifat distributif dan membagi kedua ruas dengan $(1-r)$ membuktikan bahwa $S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$. Cara yang serupa untuk kasus $r>1$. $\blacksquare$

Jika $r=1$, maka deret geometri didapati

$S_{n}=na$.

Deret geometri takhingga

Artikel utama: Deret geometrik

Diagram yang menunjukkan jumlah $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots$ adalah mendekati $2$.

Untuk deret geometri dengan tak terhingganya banyak suku, kita rumuskan

$S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}$

untuk $|r|<1$. Sebagai contoh, pada diagram di samping kanan, diketahui bahwa suku awal (yakni persegi terbesar) adalah $a=1$ serta $r={\frac {1}{2}}$. Dengan menggunakan rumus di atas, maka jumlah keseluruhan pada diagram di samping adalah

$S_{\infty }={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{\frac {2-1}{2}}}={\frac {1}{\frac {1}{2}}}=2$.

Bukti deret geometri, kasus $|r|<1$

Visualisasi yang menunjukkan cara lain untuk membuktikan deret geometri. Karena $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}ar^{i-1}$, maka diperoleh $S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$. Ambil $n\to \infty$ pada kedua ruas, diperoleh ${\begin{aligned}S_{\infty }&=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}\\&={\frac {a}{1-r}}\lim _{n\to \infty }(1-r^{n})\end{aligned}}$ Karena diketahui $|r|<1$, maka $\lim _{n\to \infty }1-r^{n}=1$. Karena itu, $S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}$. $\blacksquare$

Untuk kasus $r>1$, $S_{\infty }$ tidak mempunyai hasil (karena bernilai $\pm \infty$) sehingga deretnya dapat dikatakan divergen.

Barisan dan deret geometri bertingkat

Jika bertingkat 2: $a_{n}=a^{n^{2}}+b^{n}+c$

Jika bertingkat 3: $a_{n}=a^{n^{3}}+b^{n^{2}}+c^{n}+d$

dst

Lihat pula

• Barisan
• Deret (matematika)
• Barisan dan deret aritmetika
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯, salah satu bentuk deret

Bacaan lebih lanjut

• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-505-X.  (Indonesia)
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-568-8.  (Indonesia)