Պտույտ

Երկրի պտույտը իր առանցքի շուրջը

Պատկերի պտույտը հարթության մեջ Օ կետի նկատմամաբ, ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ

Պտույտ, շարժման տեսակ, որի ժամանակ հարթության կամ տարածության գոնե մեկ կետը մնում է անշարժ։

Հարթության կամ տարածության պտույտը կոչվում է առաջին սեռի (սեփական) կամ երկրորդ սեռի (ոչ սեփական), եթե այն պահպանում է հարթության կամ տարածության ուղղորդվածությունը։ Հաճախ պտույտ ասելով հասկանում են հենց սեփական պտույտը։

Երկչափ պտույտի ժամանակ, կարելի է տալ ավելի համապատասխան սահմանում։ Հարթության պտույտ կոչվում է այն շարժումը, որի ժամանակ տրված կետից դուրս եկող ամեն մի ճառագայթ թեքվում է նույն ուղղությամբ, նույն անկյան չափով։

Կապված սահմանումներ

Քառաչափ մարմնի պտույտ

Պտույտի ընթացքում անշարժ մնացող կետը կոչվում է պտտման կենտրոն, անշարժ ուղիղը՝ պտտման առանցք։

Ոչ սեփական պտույտ

Ոչ սեփական պտույտը փոքր չի կարող լինել, իսկ սեփական պտույտը կարելի է ցանկացած չափով փոքրացնել։ Ոչ սեփական պտույտը իրենից ներկայացնում է որոշակի հայելային անդրադարձման կոմպոզիցիա։

Պտույտ հարթության մեջ

Անալիտիկ երկրաչափությունում ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային հարթության մեջ պտույտը նկարագրվում է

$x'=x\cos \varphi -y\sin \varphi ,$

$y'=x\sin \varphi +y\cos \varphi ,$

որտեղ $\varphi$ — պտտման անկյունն է, իսկ պտտման կենտրոնը կոորդինատային կամակարգի կենտրոնն է։

Նույն պայմանների դեպքում ոչ սեփական պտույտը նկարագրվում է։

$x'=x\cos \varphi +y\sin \varphi ,$

$y'=x\sin \varphi -y\cos \varphi .$

Մատրիցային ձև

Մատրիցային մոտեցման դեպքում $(x,y)$կետը գրում են վեկտորի տեսքով, և բազմապատկում են մատրիցին

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$.

$(x',y')$ կետի կոորդինատներն են, որը ստացվել է $(x,y)$կետի պտույտից։

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ և ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}$ վեկտորներըն ունեն նույն չափերը։

Կոմպլեքսային ձև

Կետը կարելի է պտտել կոմպլեքս թվերի օգնությամբ։բԱյդ թվերի մեծամասնությունը իրենից ներկայացնում է հարթություն։բ$(x,y)$կետը իրենից ներկայացնում է $z=x+iy$ տեսքի կոմպլեքս թիվը։

Կետի $\theta$ անկյան տակ պտտելը կարելի է իրականացնել բազմապատկելով $e^{i\theta }$, օգտվելով Էյլերի թեորեմից։

${\begin{aligned}e^{i\theta }z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=(x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta )\\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x'+iy',\end{aligned}}$

որի հետևանքով ստացվում է նույն արդյունքը

${\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}$

Տես նաև

• Պտտական շարժում
• Անկյունային արագություն