Reguláris gráf

Egy gráf reguláris, ha minden csúcsának ugyanannyi szomszédja van, más szóval minden csúcs fokszáma azonos. A közös fokszámot k-val jelölve beszélhetünk k-reguláris gráfról is. A reguláris irányított gráfnak meg kell felelnie annak az erősebb feltételnek is, hogy az egyes csúcsba bemenő élek és kimenő élek száma egyenlő legyen egymással.^[1]

Egy erősen reguláris gráf egy olyan reguláris gráf, ahol a szomszédok száma megegyezik minden csúcsnál, de két összekötött csúcs közös szomszédjainak a száma és két nem-összekötött csúcs közös szomszédainak száma is független a két pont választásától.

A kézfogás-lemma szerint minden véges irányítatlan gráf páros darab páratlan fokszámú csúccsal rendelkezik.

A Nash-Williams-tétel szerint minden $2k+1$ csúcsú k-reguláris gráfban van Hamilton-kör.

Egzisztencia

Akkor és csak akkor létezik n csúcsú $k$ -reguláris gráf, ha , ha $n\geq k+1$ és $nk$ páros. Ebben az esetben egy ilyen reguláris gráf könnyen megkonstruálható megfelelően paraméterezett cirkuláns gráfként.^[forrás?]

Osztályozás

A legfeljebb 2-reguláris gráfok egyszerűen osztályozhatóak.

A 0-reguláris gráfok nem tartalmaznak éleket, ezek az üres gráfok.
Az 1-reguláris gráfok egy-egy éllel összekötött csúcspárokat tartalmaznak.
A 2-reguláris gráfok csúcsidegen körökből állnak.
A 3-reguláris gráfokat angol nyelvterületen cubic graph-nak nevezik.

0-reguláris gráf
1-reguláris gráf
2-reguláris gráf
3-reguláris gráf

Algebrai tulajdonságok

Legyen A egy gráf szomszédsági mátrixa.

A gráf akkor és csak akkor reguláris, ha ${\textbf {j}}=(1,\dots ,1)$ sajátvektora A-nak.^[2] Ekkor a sajátérték k. A többi sajátértéknek megfelelő sajátvektorok merőlegesek ${\textbf {j}}$ -re, tehát az ilyen sajátvektorok koordinátáinak összege nulla.

Egy k-reguláris gráf csak akkor összefüggő, ha k egyszeres sajátértéke. A "csak akkor" meghatározás a Perron–Frobenius-tétel következménye.^[2]

Van egy másik kritérium a reguláris és összefüggő gráfokra: egy gráf pontosan akkor reguláris és összefüggő, ha az

{\begin{bmatrix}1&\cdots &1\\\vdots &\ddots &\vdots \\1&\cdots &1\end{bmatrix}}

mátrix eleme A szomszédsági algebrájának, azaz előáll A hatványainak lineáris kombinációjaként.^[3]

Legyen G k- reguláris gráf, D átmérővel és $k=\lambda _{0}>\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}$ sajátértékekkel. Ha G nem páros gráf, akkor

D\leq {\frac {\log {(n-1)}}{\log(\lambda _{0}/\lambda _{1})}}+1.

Példák

Minden teljes gráf (erősen) reguláris.
Minden hiperkockagráf reguláris.
Az egyenlő nagyságú osztályokkal rendelkező teljes páros gráfok regulárisak.
Minden gyűrűs kocka 3-reguláris.
A legkisebb reguláris, de nem erősen reguláris gráf a ciklusgráf és a hatcsúcsú körkörös gráf.

Generálás

Létezik gyors algoritmus az adott fokszámú és csúcsszámú reguláris gráfok izomorfizmus erejéig való felsorolására.^[4]

Jegyzetek

↑ Chen, Wai-Kai. Graph Theory and its Engineering Applications. World Scientific, 29. o. (1997). ISBN 978-981-02-1859-1
↑ ^a ^b Cvetković, D. M.; Doob, M.; and Sachs, H. Spectra of Graphs: Theory and Applications, 3rd rev. enl. ed. New York: Wiley, 1998.
↑ Curtin, Brian (2005), "Algebraic characterizations of graph regularity conditions", Designs, Codes and Cryptography 34 (2-3): 241–248, DOI 10.1007/s10623-004-4857-4.
↑ Meringer (1999). „Fast generation of regular graphs and construction of cages”. Journal of Graph Theory 30 (2), 137–146. o. DOI:<137::AID-JGT7>3.0.CO;2-G 10.1002/(SICI)1097-0118(199902)30:2<137::AID-JGT7>3.0.CO;2-G.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Regular graph című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

További információk

- Weisstein, Eric W.: Regular Graph (angol nyelven). Wolfram MathWorld
- Weisstein, Eric W.: Strongly Regular Graph (angol nyelven). Wolfram MathWorld
- GenReg software and data by Markus Meringer.
- Nash-Williams, Crispin (1969), Valency Sequences which force graphs to have Hamiltonian Circuits, University of Waterloo Research Report, Waterloo, Ontario: University of Waterloo

[1] Chen, Wai-Kai. Graph Theory and its Engineering Applications. World Scientific, 29. o. (1997). ISBN 978-981-02-1859-1

[Cvetkovic-2] Cvetković, D. M.; Doob, M.; and Sachs, H. Spectra of Graphs: Theory and Applications, 3rd rev. enl. ed. New York: Wiley, 1998.

[3] Curtin, Brian (2005), "Algebraic characterizations of graph regularity conditions", Designs, Codes and Cryptography 34 (2-3): 241–248, DOI 10.1007/s10623-004-4857-4.

[4] Meringer (1999). „Fast generation of regular graphs and construction of cages”. Journal of Graph Theory 30 (2), 137–146. o. DOI:<137::AID-JGT7>3.0.CO;2-G 10.1002/(SICI)1097-0118(199902)30:2<137::AID-JGT7>3.0.CO;2-G.

[1]

[2]

[3]

[4]

Gráfcsaládok automorfizmusukkal meghatározva
távolságtranzitív	${\boldsymbol {\rightarrow }}$	távolságreguláris	${\boldsymbol {\leftarrow }}$	erősen reguláris
${\boldsymbol {\downarrow }}$
szimmetrikus	${\boldsymbol {\leftarrow }}$	t-tranzitív, t ≥ 2		ferdeszimmetrikus
${\boldsymbol {\downarrow }}$
_{(ha összefüggő)} csúcs- és éltranzitív	${\boldsymbol {\rightarrow }}$	éltranzitív és reguláris	${\boldsymbol {\rightarrow }}$	éltranzitív
${\boldsymbol {\downarrow }}$		${\boldsymbol {\downarrow }}$		${\boldsymbol {\downarrow }}$
csúcstranzitív	${\boldsymbol {\rightarrow }}$	reguláris	${\boldsymbol {\rightarrow }}$	_(ha páros) bireguláris
${\boldsymbol {\uparrow }}$
Cayley-gráf	${\boldsymbol {\leftarrow }}$	zérószimmetrikus		aszimmetrikus