Béta-függvény

A béta-függvény a következő képlettel definiált kétváltozós valós függvény:

$B:\mathbf {R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbf {R} ,\quad \quad B(\alpha ,\beta ):=\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\ dx.$

A béta-függvényt leggyakrabban a valószínűségszámítás területén alkalmazzák, bár a paraméteres integrálok számításánál és egyszerűsítésénél is igen hasznos. A béta-függvény segítségével definiálható a béta-eloszlás.

Megjegyzések

• Megmutatható, hogy

$B(\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\,$

ahol Γ a gamma-függvényt jelöli.

• Megmutatható, hogy a béta-függvény (komplex változós és komplex értékű változata) az egyetlen meromorf függvény, ami mindenütt kielégíti az alábbi három feltételt.

$(1)\quad B(z,w)=B(w,z)$

$(2)\quad B(z,w+1)={\frac {w}{z+w}}B(z,w)$

$(3)\quad B(1,1)=1$

Források

• Fazekas F. – Frey T. (1965): Operátorszámítás, speciális függvények. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.