Euklidski prostor

Euklidski vektorski prostor ili skraćeno euklidski prostor prvenstveno možemo smatrati onim matematičkim prostorom kojeg intuitivno svakodnevno zamišljamo. Naziv je dobio po starogrčkom matematičaru Euklidu.

Definicija

Neka je $V$ realni vektorski prostor i neka je $\psi :V\times V\to \mathbb {R}$ preslikavanje sa sljedećim svojstvima (napišimo $v\cdot w$ umjesto $\psi (v,w)$) za svaki $u,v,w,\in V$ i $\alpha \in \mathbb {R}$ :

1. $v\cdot w=w\cdot v;$
2. $(u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w;$
3. $\alpha (v\cdot w)=(\alpha v)\cdot w=v\cdot (\alpha w);$
4. $w\cdot w>0{\mbox{ ako i samo ako je }}v\neq 0.$

Tada se $\psi$ zove skalarni produkt na $V$.

Ako na $V$ postoji skalarni produkt, onda se $V$ zove euklidski vektorski prostor.

Euklidska norma

Euklidska norma ili duljina vektora $w$ je broj

$\|w\|={\sqrt {w\cdot w}}.$

Iz elementarne analize slijedi da je skalarni produkt između dva vektora koja su pod kutom $\varphi$:

$v\cdot w=\|v\|\cdot \|w\|\cdot \cos \varphi ,$

tj. kut $\varphi$ između vektora $v,w\in V$ definiran je s

$\varphi =\arccos \left({\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}\right).$

Ako je $v\cdot w=0$, očito je $\varphi ={\frac {\pi }{2}}$, pa kažemo da su $v$ i $w$ okomiti ili ortogonalni vektori.

Vezani pojmovi

• skalarni produkt
• vektorsko polje
• vektorski prostor