פונקציה הפיכה

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציה הפיכה היא פונקציה, אשר קיימת פונקציה נוספת שפעולתה הפוכה לזו של הראשונה, כך שכאשר שתי הפונקציות מופעלות בזו אחר זו על ערך כלשהו, מוחזר הערך שעליו הן הופעלו. בלשון מעט יותר פורמלית: הרכבתן של הפונקציות נותנת את פונקציית הזהות.

בקבוצה עליה לא מוגדר כל מבנה מתמטי נוסף, על מנת שניתן יהיה להפוך את פעולתה של פונקציה על ידי פונקציה אחרת, צריכים להתקיים שני תנאים: ראשית, הפונקציה שמבקשים להפוך צריכה להיות חד-חד-ערכית. זאת כי אם שני ערכים שונים מועתקים לערך יחיד, לא ברור לאן הפונקציה ההפוכה תעתיק ערך זה, וכל ניסיון לבחור ערך שרירותי יוביל לכך שהרכבת הפונקציה וההופכית שלה לא יתנו את פונקציית הזהות. ניתן לחשוב על כך בצורה זו: אם הפונקציה אינה חד-חד-ערכית, קיים איבוד של מידע בזמן הפעלת הפונקציה, ולכן לא ניתן לשחזר את פעולתה.

שנית, הפונקציה שאותה מבקשים להפוך צריכה להיות על הטווח שלה. זאת כי אנחנו רוצים להגדיר את הפונקציה ההופכית על טווח זה, מה שמחייב אותנו להגדיר אותה עבור כל ערך בטווח. אם הפונקציה אינה על, הרי שקיים איבר בטווח שלא מתקבל על ידה, ואז שוב לא ניתן להגדיר את ההופכית על ערך זה מבלי להגיע למצב שבו הרכבת הפונקציות אינה פונקציית הזהות. ניתן לחשוב על כך בצורה זו: אם הפונקציה אינה על, היא אינה מספקת מספיק מידע מלכתחילה כדי שניתן יהיה להגדיר לה הופכית על הטווח כולו. עם זאת, בעיה זו "חמורה פחות" מאשר מחסור בחד-חד-ערכיות, שכן תמיד ניתן לצמצם את תחום הגדרת ההופכית לקבוצת הערכים שמתקבלת על ידי הפונקציה (התמונה שלה) ובתחום זו הפונקציה הפיכה.

הגדרה פורמלית

תהי $f\colon A\to B$ פונקציה חד-חד-ערכית ועל. אז קיימת פונקציה $f^{-1}\colon B\to A$ שנקראת ההופכית שלה, כך שמתקיים:

\forall a\in A:f^{-1}(f(a))=a\quad ,\quad \forall b\in B:f(f^{-1}(b))=b

.

לכל פונקציה הפיכה קיימת פונקציה הופכית יחידה, מה שמצדיק את השימוש בביטוי "ההופכית" (ואת הסימון בו נקטנו עבורה). כמו כן, כל פונקציה הפוכה גם היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל. הרכבת שתי פונקציות הפיכות מחזירה פונקציה הפיכה ולכן אוסף כל הפונקציות על קבוצה $A$ היא חבורה המכונה החבורה הסימטרית של $A$ . אם קיימת פונקציה הפיכה מהקבוצה $A$ אל הקבוצה $B$ נאמר של- $A$ ול- $B$ יש את אותה עוצמה. כיוון שקיום פונקציה הפיכה בין $A$ ל- $B$ מחייב קיום של פונקציה הפיכה בכיוון ההפוך וכן בגלל שהרכבת פונקציות הפיכות היא הפיכה - זהו יחס שקילות.

יש לשים לב כי משתמשים בסימון $f^{-1}(A)$ גם כדי לתאר את המקור של קבוצה על ידי הפונקציה $f$ , וסימון זה נהוג גם כאשר הפונקציה אינה הפיכה. כאשר הפונקציה היא הפיכה סימון זה מתלכד עם המשמעות שהוצגה כאן: המקור של קבוצה על ידי $f$ הוא בדיוק תמונת אותה קבוצה על ידי $f^{-1}$ . מסמנים גם $f^{-1}(b)=f^{-1}(\{b\})$ .

דוגמאות

עבור הפונקציה המתאימה לכל אדם את מספר תעודת הזהות שלו הפונקציה ההופכית היא הפונקציה המתאימה לכל מספר תעודת זהות את האדם שזה מספרו.
עבור הפונקציה הממשית $f(x)=x+1$ הפונקציה ההופכית היא $f^{-1}(x)=x-1$ . הפונקציה הראשונה "מזיזה" את הנקודה שהיא מקבלת ימינה, והפונקציה השנייה "מזיזה" אותה שמאלה בשיעור זהה.
הפונקציה $f(x)=x^{2}$ אינה חד-חד-ערכית. למשל, $f(1)=f(-1)=1$ . למרות זאת רוצים להגדיר לה הופכית, ולכן מסתפקים בצמצום התחום של הפונקציה רק למספרים הלא שליליים. בתחום זה הפונקציה חד-חד-ערכית, וקיימת לה הופכית: $f^{-1}(x)={\sqrt {x}}$ .
הפונקציה ההפוכה לפונקציית הלוגריתם הטבעי $\ln(x)$ היא פונקציית האקספוננט: $e^{x}$ . מכיוון שפונקציית האקספוננט מחזירה ערכים חיוביים בלבד היא אינה פונקציה על כאשר מסתכלים על הטווח בתור הישר הממשי כולו, ולכן לא ניתן להגדיר את הלוגריתם הטבעי על הישר הממשי כולו, והוא מוגדר רק עבור ערכים הגדולים מאפס.
הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות $\sin(x),\cos(x),\tan(x)$ בהתאמה הן הפונקציות $\arcsin(x),\arccos(x),\arctan(x)$ (שמסומנות לעיתים גם $\sin ^{-1}(x),\cos ^{-1}(x),\tan ^{-1}(x)$ ). גם הפונקציות הטריגונומטריות אינן חד-חד-ערכיות ולכן מצמצמים אותן לתחום שבו הן חד חד ערכיות על מנת להגדיר את ההופכיות.
כל איזומורפיזם בין קבוצה $A$ לקבוצה $B$ הוא הפיך והפונקציה ההופכית לו היא איזומורפיזם מ- $B$ ל- $A$ .

נגזרת של פונקציה הפיכה

את הנגזרת של הפונקציה ההפיכה אפשר לחשב גם בלי להפוך את הנגזרת ישירות, לפי המשפט הבא:

משפט: תהי $f$ פונקציה הפיכה ורציפה בסביבת $x_{0}$ , גזירה בה ומקיימת $f'(x_{0})\neq 0$ . אזי $f^{-1}$ גזירה בנקודה $y_{0}=f(x_{0})$ ונגזרתה בה היא:

(f^{-1})'(y_{0})={\frac {1}{f'(x_{0})}}

.

לדוגמה, עבור הפונקציה $f(x)={\sqrt {x}}$ נבחר נקודה $(b^{2},b)$ . בפונקציה ההפוכה קיימת נקודה $(b,b^{2})$ . כלומר: $f^{-1}(b)=b^{2}$

הנגזרת של $f(x)$ בנקודה $x=b^{2}$ היא $f'(b^{2})=({\sqrt {x}})'|_{x=b}=\left.{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\right|_{x=b}={\frac {1}{2{\sqrt {b^{2}}}}}={\frac {1}{2b}}$ , ולכן