חתכי דדקינד

חתכי דדקינד מהווים אחת משתי השיטות הקלאסיות לבנייה של שדה המספרים הממשיים מתוך שדה המספרים הרציונליים. אלו הן הבניות הראשונות של שדה זה שאינן תלויות באקסיומות גאומטריות. את הבניה הציג ריכרד דדקינד ב- 1872. באותה שנה הציע גאורג קנטור את הבניה באמצעות "סדרות קושי".

המחשה גאומטרית של חתך דדקינד המתאים לשורש הריבועי של 2. A היא קבוצת הרציונלים בתחום האדום ו-B היא קבוצת הרציונליים בתחום הכחול.

חתך במספרים הרציונליים הוא חלוקה שלהם לשתי קבוצות לא ריקות $\ A$ ו-$\ B$, כך שכל איבר של $\ A$ קטן מכל איבר של $\ B$, וכך של-$\ A$ אין מקסימום. לדוגמה, אם $\ r$ הוא מספר רציונלי, אפשר לבחור $\ A=\{x:x<r\}$ ו- $B=\{x:x\geq r\}$; אז $\ A|B$ הוא החתך המתאים ל-$\ r$. חתכים אלה, שאותם אפשר לאפיין גם בכך שלקבוצה B יש מינימום, נקראים "החתכים הרציונליים".

אפשר להגדיר פעולות חיבור וכפל בין חתכים, והאוסף המתקבל הוא שדה, שאוסף החתכים הרציונליים מהווה תת-שדה שלו. יתרה מזו, קל לסדר את השדה החדש ($\ A|B$ גדול מ- $\ A'|B'$ אם $\ A$ מכיל את $\ A'$), ואז השיכון של הרציונליים בשדה החתכים (המתאים לכל מספר רציונלי את החתך שלו) שומר על יחס הסדר.

ישנם גם חתכים לא רציונליים. למשל, אפשר לקחת את $\ B$ להיות קבוצת המספרים הרציונליים החיוביים, שריבועם גדול מ-2, ואת $\ A$ להיות המשלים של $\ B$. במקרה זה $\ A|B$ הוא חתך שריבועו שווה לחתך המתאים ל-2, ולכן אינו יכול להיות רציונלי (שהרי השורש הריבועי של 2 אינו רציונלי).

מתברר שהשדה החדש הוא שדה סדור שלם ארכימדי, והוא השדה היחיד בעל תכונות אלה. לשדה זה קוראים שדה המספרים הממשיים. את אוסף החתכים אפשר לבנות עבור כל שדה סדור, אלא שהתוצאה אינה שדה אלא אם השדה המקורי הוא ארכימדי. אוסף החתכים בשדה ארכימדי איזומורפי בכל המקרים לשדה המספרים הממשיים.

ב-1972 הכליל את הרעיון ג'ון קונוויי, ובנה את מה שכונה אחר-כך מספרים סוריאליסטיים.

הכללה

אפשר להגדיר בצורה דומה חתכים לכל קבוצה סדורה. תהי A קבוצה הסדורה ביחס סדר מלא >. נגדיר חתך להיות קבוצה לא ריקה C בלי מקסימום, המקיימת שאם x ב-C ו-y<x אז גם y ב-C. את קבוצת הקבוצות המתקבלות D נסדר על פי יחס ההכלה (שקל לראות שמסדר אותן בסדר מלא), ונגדיר את ההטלה הקנונית מ-A ל-D על ידי x עובר לקבוצת המספרים הקטנים מ-x. זהו שיכון (כלומר פונקציה חח"ע) שהוא איזומורפיזם על תמונתו (משמר סדר) ולכן ניתן להגיד ש-A מוכל ב-D. אז A צפוף ב-D, ולכל קבוצה חסומה ולא ריקה ב-D יש סופרמום. בנוסף, אם נסתכל על טופולוגיית הסדר על D, אז A צפוף ב-D (במובן הטופולוגי), ואם A צפוף (במובן של סדר) אז D מרחב קשיר.

הקבוצה המתקבלת D מקיימת את "תכונת השלמות": לכל תת-קבוצה לא ריק וחסומה מלעיל יש סופרמום. יתרה מכך, כל איבר שנוסף ב-D ולא היה קודם ב-A הוא סופרמום של תת-הקבוצה שהוא מייצג (ועל כן אם A מקיימת את תכונת השלמות, D איזומורפית ל-A).

קישורים חיצוניים

• חתכי דדקינד, באתר MathWorld (באנגלית)
• חתכי דדקינד, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)