Teorema de Ostrowski

En matemáticas, o teorema de Ostrowski é un teorema da teoría de números demostrado en 1916 por Alexander Ostrowski, segundo o cal calquera valor absoluto non trivial no corpo ℚ dos racionais é equivalente ao valor absoluto habitual ou ao dos valores absolutos p-ádicos.

De forma máis precisa e máis xeral , o teorema de Ostrowski afirma que os únicos valores absolutos non ultramétricos nun corpo K son (se os hai) as aplicacións da forma x ↦ |f (x)| ^c, onde f é un mergullo de K no corpo dos complexos, e 0 < c ≤ 1. Daquela os valores absolutos ultramétricos en K son os inducidos por unha valoración real, e para K = ℚ as valoracións reais son as valoracións p-ádicas.

Valor absoluto

Artigo principal: valor absoluto.

Sexa K un corpo. Un valor absoluto en K é unha aplicación | ∙ | de K no conxunto dos números reais positivos, que verifica:

1. $\forall x\in K,\ |x|=0\Longleftrightarrow x=0~;$
2. $\forall (x,y)\in K^{2},\ |x\times y|=|x|\times |y|~;$
3. $\forall (x,y)\in K^{2},\ |x+y|\leq |x|+|y|.$

A aplicación (x, y) ↦ |y – x| é entón unha distancia en K.

Se o valor absoluto cumpre a condición  

$\forall (x,y)\in K^{2},\ |x+y|\leq \max(|x|,|y|),$

máis forte que a condición 3, entón o valor absoluto chámase ultramétrico.

Valor absoluto trivial

O valor absoluto trivial | ∙ |₀ nun corpo defínese por

$|x|_{0}={\begin{cases}0&{\text{si }}x=0\\1&{\text{se }}x\neq 0.\end{cases}}$

Valor absoluto habitual

O valor absoluto habitual | ∙ | _∞ en ℚ defínese por

$|x|_{\infty }={\begin{cases}x&{\text{si }}x\geq 0\\-x&{\text{si }}x<0.\end{cases}}$

Valor absoluto p-ádico

Artigo principal: número p-ádico.

Para un número primo fixo p, calquera x racional distinto de cero pode escribirse de forma única na forma

$x=p^{n}{\frac {a}{b}}$

onde $n$, $a$ son enteiros, $b$ é un enteiro estritamente positivo tal que $a$ e $b$ son primos entre si, e $p$ non divide $a$ nin $b$.

O enteiro n é a valoración p-ádica de x. O valor absoluto p-ádico |∙|_p en ℚ defínese entón por :$|x|_{p}={\begin{cases}0&{\text{si }}x=0\\p^{-n}&{\text{si }}x\neq 0.\end{cases}}$.

Este valor absoluto é ultramétrico ultramétrico.

Valores absolutos equivalentes

Dous valores absolutos nun corpo K dise que son equivalentes cando as distancias asociadas son topoloxicamente equivalentes. Son logo potencias uns dos outros cun expoñente estritamente positivo.

Teorema de Ostrowski

Teorema Calquera valor absoluto non trivial en ℚ é equivalente ao valor absoluto habitual $|\cdot |_{\infty }$ ou a un dos valores absolutos p-ádico $|\cdot |_{p}$ onde p é un número primo.

Completamentos do corpo dos números racionais

O teorema de Ostrowski mostra que só hai dous tipos de complementos do corpo ℚ. Se tomamos un valor absoluto equivalente ao valor absoluto habitual, construiremos un corpo isomorfo a ℝ.

Se completamos o corpo ℚ cun valor absoluto p-ádico, obtemos corpos completos moi diferentes ao dos reais: corpos p-ádicos. Isto abre as portas á análise p-ádica.

Véxase tamén

Bibliografía

• Gerald J. Janusz (1996). Algebraic Number Fields. AMS. ISBN 978-0-8218-0429-2. 
• Nathan Jacobson (1989). Basic Algebra II. W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-1933-5. 

Outros artigos

• Número p-ádico.

Ligazóns externas

• Abdellah Bechata. "Une démonstration du théorème d'Ostrowski" (PDF). 
• Keith Conrad. "Ostrowski for number fields" (PDF). 
• Keith Conrad. "Ostrowski's theorem for F(T)" (PDF).