Produto de matrices

En matemáticas, particularmente en álxebra lineal, a multiplicación de matrices é unha operación binaria que produce unha matriz a partir de dúas matrices. Para a multiplicación de matrices, o número de columnas da primeira matriz debe ser igual ao número de filas da segunda matriz. A matriz resultante, coñecida como produto matricial, ten o número de filas da primeira e o número de columnas da segunda matriz. O produto das matrices A e B denotase como AB.

Para a multiplicación de matrices, o número de columnas da primeira matriz debe ser igual ao número de filas da segunda matriz. A matriz de resultados ten o número de filas da primeira e o número de columnas da segunda.

O cálculo de produtos matriciales é unha operación central en todas as aplicacións computacionais da álxebra lineal.

Definicións

Produto de matrices

Se A é unha matriz m × n e B é unha matriz n × p, $$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{np}\\\end{pmatrix}}$$ o produto matricial C = AB (indicado sen signos ou puntos de multiplicación) defínese como a matriz m × p

$\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{m1}&c_{m2}&\cdots &c_{mp}\\\end{pmatrix}}$ tal que

$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},$ para i = 1, ..., m; i = 1, ..., m e j = 1, ..., p j = 1, ..., p.

É dicir, o elemento c_{ij} do produto obtense multiplicando termo por termo as entradas da i-ésima fila de A e a j-ésima columna de B, e sumando estes n produtos. Noutras palabras, c_{ij} é o produto escalar da i-ésima fila de A e a j-ésima columna de B.

Por tanto, o produto AB defínese se e só se o número de columnas en A é igual ao número de filas en B, neste caso n.

A figura seguinte mostra como calcular os coeficientes $c_{12}$ e $c_{33}$ da matriz produto $AB$ se $A$ é unha matriz de tipo $(4,2)$, et $B$ é unha matriz de tipo $(2,3)$.

${\color {BrickRed}c_{12}}=\sum _{r=1}^{2}a_{1r}b_{r2}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}$

${\color {NavyBlue}c_{33}}=\sum _{r=1}^{2}a_{3r}b_{r3}=a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}$

Exemplos

${\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3&4\\-2&-3\\\end{pmatrix}}$

$={\begin{pmatrix}(1\times 3+0\times -2)&(1\times 4+0\times -3)\\(2\times 3+-1\times -2)&(2\times 4+-1\times -3)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&4\\8&11\end{pmatrix}}$.

En xeral, o produto des matrices non é conmutativa, Isto é, $AB$ non é igual a $BA$, como mostra o seguinte exemplo:

${\begin{pmatrix}1&2&0\\4&3&-1\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}5&1\\2&3\\3&4\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9&7\\23&9\\\end{pmatrix}}$,

mentres que,

${\begin{pmatrix}5&1\\2&3\\3&4\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&2&0\\4&3&-1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9&13&-1\\14&13&-3\\19&18&-4\\\end{pmatrix}}$

Produto escalar

O produto escalar $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ de dous vectores $\mathbf {a}$ e $\mathbf {b}$ de igual lonxitude é igual a un elemento único (sería unha matriz $1\times 1$) resultante de multiplicar estes vectores como un vector fila por un vector columna, así: $\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b}$ (ou $\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a}$).

O produto escalar dos dous vectores

$a={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$  e  $b={\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}$

calcúlase como

$a\cdot b={\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}=1\cdot (-7)+2\cdot 8+3\cdot 9=36$.

Potencia dunha matriz cadrada

A potencia dunha matriz sería unha multiplicación repetida, o que pode realizarse cando a matriz é cadrada.

Cando unha matriz $A$ cadrada é diagonalizábel esta diagonalización $A=PDP^{-1}$, onde $D$ é unha matriz diagonal, pódese usar para calcular eficientemente as potencias dunha matriz:

${\begin{aligned}A^{k}&=\left(PDP^{-1}\right)^{k}=\left(PDP^{-1}\right)\left(PDP^{-1}\right)\cdots \left(PDP^{-1}\right)\\&=PD\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)\cdots \left(P^{-1}P\right)DP^{-1}=PD^{k}P^{-1},\end{aligned}}$

e isto último é doado de calcular xa que só implica as potencias dunha matriz diagonal. Por exemplo, para a matriz $A$

$A=\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right].$

con valores propios $\lambda =1,1,2$ temos a diagonalización: $P$ to get: $$P^{-1}AP=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}}=D.$$ e agora calculamos:

${\begin{aligned}A^{k}=PD^{k}P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}1^{k}&0&0\\0&1^{k}&0\\0&0&2^{k}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2-2^{k}&-1+2^{k}&2-2^{k+1}\\0&1&0\\-1+2^{k}&1-2^{k}&-1+2^{k+1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

Aplicacións fundamentais

Historicamente, a multiplicación matricial foi introducida para facilitar e aclarar os cálculos en álxebra linear.

Mapas lineares

Un mapa linear A dun espazo vectorial de dimensión n nun espazo vectorial de dimensión m mapea un vector columna

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

sobre o vector columna

$\mathbf {y} =A(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}.$

O mapa linear A está así definido pola matriz

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},$

e mapea o vector columna $\mathbf {x}$ no produto matricial

$\mathbf {y} =\mathbf {Ax} .$

Rotacións xeométricas

Usando un sistema de coordenadas cartesianas nun plano euclidiano, a rotación dun ángulo $\alpha$ arredor da orixe é un mapa linear. Máis precisamente,

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},$

onde o punto de orixe $(x,y)$ e a súa imaxe $(x',y')$ escríbense como vectores columna.

Sistema de ecuacións lineares

A forma xeral dun sistema de ecuacións lineares é

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}.\end{matrix}}$

Usando a mesma notación anterior, tal sistema é equivalente á ecuación matricial única

$\mathbf {Ax} =\mathbf {b} .$

Produto escalar, forma bilinear e forma sesquilinear

O produto escalar de dous vectores columna é o único elemento do produto matricial

$\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} ,$

onde $\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}$ é o vector fila obtido mediante a transposición de $\mathbf {x}$.

Máis xeralmente, calquera forma bilinear sobre un espazo vectorial de dimensión finita pode expresarse como un produto matricial

$\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Ay} ,$

e calquera forma sesquilinear pode expresarse como

$\mathbf {x} ^{\dagger }\mathbf {Ay} ,$

onde $\mathbf {x} ^{\dagger }$ denota a transposta conxugada de $\mathbf {x}$ (conxugada da transposta, ou equivalentemente transposta da conxugada).

Multiplicación matricial por bloque

Se consideramos as matrices $M=\left({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}}\right)$ e $N=\left({\begin{smallmatrix}A'&B'\\C'&D'\end{smallmatrix}}\right)$, onde $A,A',B,B',C,C'$ e $D,D'$ son matrices que verifican:

• O número de columnas en $A$ e $C$ é igual ao número de filas en $A'$ e $B'$
• O número de columnas en $B$ e $D$ é igual ao número de filas en $C'$ e $D'$

entón temos a igualdade

$MN={\begin{pmatrix}AA'+BC'&AB'+BD'\\CA'+DC'&CB'+DD'\end{pmatrix}}$

Observe a analoxía entre o produto da matriz de bloques e o produto de dúas matrices cadradas de orde 2. por tanto isto non define unha nova forma de produto de matrices. Este é simplemente un método de cálculo de produto matricial común que pode simplificar os cálculos.

Produto de Hadamard

Artigo principal: Produto de Hadamard.

Para dúas matrices do mesmo tipo, temos o "produto Hadamard" ou produto compoñente por compoñente. O produto de Hadamard de dúas matrices $A=(a_{ij})$ e $B=(b_{ij})$ de tipo $(m,n)$, denotado A · B = (c_ij) , é unha matriz de tipo $(m,n)$ dada por

$c_{ij}=a_{ij}\times b_{ij}.$

Por exemplo:

${\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0&2\\7&5&0\\2&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\times 0&3\times 0&2\times 2\\1\times 7&0\times 5&0\times 0\\1\times 2&2\times 1&2\times 1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&4\\7&0&0\\2&2&2\end{pmatrix}}.$

Este produto é unha submatriz do produto de Kronecker.

Produto de Kronecker

Artigo principal: Produto de Kronecker.

Para dúas matrices arbitrarias $A=(a_{ij})$ e $B$, temos o produto tensor ou produto de Kronecker A ⊗ B que se define por

${\begin{pmatrix}a_{11}B&a_{12}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&a_{m2}B&\cdots &a_{mn}B\end{pmatrix}}$

Se $A$ é unha matriz de tipo $(m,n)$ e $B$ é unha matriz de tipo $(p,r)$ daquela A ⊗ B é unha matriz de tipo $(mp,nr)$. De novo esta multiplicación non é conmutativa.

Por exemplo

${\begin{pmatrix}1&2\\3&1\\\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}0&3\\2&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\times 0&1\times 3&2\times 0&2\times 3\\1\times 2&1\times 1&2\times 2&2\times 1\\3\times 0&3\times 3&1\times 0&1\times 3\\3\times 2&3\times 1&1\times 2&1\times 1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&3&0&6\\2&1&4&2\\0&9&0&3\\6&3&2&1\end{pmatrix}}$.

Se $A$ e $B$ son as matrices de mapas lineares V₁ → W ₁ e V₂ → W₂, respectivamente, logo A ⊗ B representa o produto tensor dos dous mapas, V₁ ⊗ V₂ → W₁ ⊗ W₂.

Propiedades comúns

Os tres produtos de matrices anteriores, e tamén o produto común de matrices, son asociativos

$A\times (B\times C)=(A\times B)\times C$,

distributivos en relación coa suma:

$A\times (B+C)=A\times B+A\times C$

$(A+B)\times C=A\times C+B\times C$

e compatíbeis coa multiplicación por un escalar:

$c(A\times B)=(cA)\times B=A\times (cB)$

Multiplicación por un escalar

O produto por un escalar $r$ dunha matriz $A=(a_{ij})$ dá o resultado

$rA=(ra_{ij})$.

Se estamos a traballar con matrices nun anel, a multiplicación por un escalar ás veces chámase "multiplicación á esquerda" mentres que "multiplicación á dereita" defínese por:

$Ar=(a_{ij}r)$.

Cando o anel é un anel conmutativo, por exemplo, o corpo dos reais ou dos complexos, as dúas multiplicacións son idénticas.

Porén, se o anel non é conmutativo, como o dos quaternións, entón poden ser diferentes. Por exemplo

$i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i$

Outros tipos de produto de matrices

Outros tipos de produtos de matrices, a maiores dos xa vistos, inclúen:

• Produto cracoviano, definido como A ∧ B = B^TA
• Produto interno de Frobenius, o produto escalar das matrices consideradas vectores ou, equivalentemente, a suma das entradas do produto de Hadamard
• Produto Khatri-Rao e produto Face-splitting
• Produto exterior, tamén chamado produto diádico ou produto tensor de matrices de dúas columnas, que é $\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}$

Véxase tamén

Bibliografía

• Henry Cohn, Robert Kleinberg, Balázs Szegedy, and Chris Umans. Group-theoretic Algorithms for Matrix Multiplication. arXiv:math.GR/0511460. Proceedings of the 46th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, 23–25 outubro 2005, Pittsburgh, PA, IEEE Computer Society, pp. 379–388.
• Henry Cohn, Chris Umans. A Group-theoretic Approach to Fast Matrix Multiplication. arXiv:math.GR/0307321. Proceedings of the 44th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 11–14 outubro 2003, Cambridge, MA, IEEE Computer Society, pp. 438–449.
• Coppersmith, D.; Winograd, S. (1990). "Matrix multiplication via arithmetic progressions". J. Symbolic Comput. 9 (3): 251–280. doi:10.1016/s0747-7171(08)80013-2. 
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46713-1. 
• Knuth, D.E., The Art of Computer Programming Volume 2: Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley Professional; 3 edition (novembro 14, 1997). ISBN 978-0-201-89684-8. pp. 501.
• Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. .
• Ran Raz. On the complexity of matrix product. In Proceedings of the thirty-fourth annual ACM symposium on Theory of computing. ACM Press, 2002. doi 10.1145/509907.509932.
• Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), novembro 2005. PDF
• Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, p. 354–356, 1969.
• Styan, George P. H. (1973). Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis (PDF). Linear Algebra and Its Applications 6. pp. 217–240. doi:10.1016/0024-3795(73)90023-2. 
• Williams, Virginia Vassilevska (2012-05-19). "Multiplying matrices faster than coppersmith-winograd". Proceedings of the 44th symposium on Theory of Computing - STOC '12. ACM. pp. 887–898. ISBN 9781450312455. doi:10.1145/2213977.2214056. 

Outros artigos

• Matriz (matemáticas).
• Suma de matrices.
• Produto tensorial.
• Produto de Kronecker.

Ligazóns externas

• Multiplicateur de matrices