Dominio de integridade

anel conmutativo distinto de cero no que o produto de dous elementos distintos de cero é distinto de cero

En matemáticas, un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero no que o produto de dous elementos distintos de cero é distinto de cero. [1] [2] Os dominios de integridade son xeneralizacións do anel de enteiros e proporcionan un escenario natural para estudar a divisibilidade. Nun dominio de integridade, todo elemento distinto de cero a ten a propiedade de cancelación, é dicir, se a ≠ 0, unha igualdade ab = ac implica b = c.

Algúns tipos específicos de dominios de integridade danse coa seguinte cadea de inclusións de clases:

Definición

editar

Un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero no que o produto de dous elementos calquera é distinto de cero. De forma equivalente:

  • Un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero sen divisores de cero distintos de cero.
  • Un dominio de integridade é un anel conmutativo no que o ideal cero {0} é un ideal primo.
  • Un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero para o cal cada elemento distinto de cero é cancelable baixo a multiplicación.
  • Un dominio de integridade é un anel para o cal o conxunto de elementos distintos de cero é un monoide conmutativo baixo a multiplicación (porque un monoide debe estar pechado baixo a multiplicación).
  • Un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero no que para cada elemento distinto de cero r, a función que mapea cada elemento x do anel co produto xr é inxectiva. Os elementos r con esta propiedade chámanse regulares, polo que é equivalente a esixir que todos os elementos do anel non nulos sexan regulares.
  • Un dominio de integridade é un anel isomorfo a un subanel dun corpo. (Dado un dominio de integridade, pódese mergullar no seu corpo de fraccións.)

Exemplos

editar
  • O exemplo arquetípico é o anel   de tódolos enteiros.
  • Todo corpo é un dominio de integridade. Por exemplo, o corpo   de todos os números reais é un dominio de integridade. Por outra banda, cada dominio de integridade de Artin é un corpo. En particular, todos os dominios de integridade finitos son corpos finitos (en xeral, polo pequeno teorema de Wedderburn, dominios finitos son corpos finitos). O anel de números enteiros   proporciona un exemplo dun dominio de integridade infinito non artiniano que non é un corpo, posuíndo secuencias infinitas descendentes de ideais como:
     
  • Os aneis de polinomios son dominios de integridade se os coeficientes veñen dun dominio de integridade. Por exemplo, o anel   de todos os polinomios nunha variábel con coeficientes enteiros é un dominio de integridade; así é o anel   de todos os polinomios en n-variables con coeficientescomplexos.
  • O anel   é un dominio de integridade para calquera número enteiro non cadrado  . Se  , entón este anel é sempre un subanel de  , se non, é un subanel de  
  • O anel de enteiros p-ádicos   é un dominio de integridade.
  • O anel de serie de potencias formais de un dominio de integridade é un dominio de integridade.
  • Se   é un subconxunto aberto conexo do plano complexo  , entón o anel   consistente en tódalas funcións holomorfas é un dominio de integridade. O mesmo é certo para os aneis de funcións analíticas sobre subconxuntos abertos de variedades analíticas conexas.
  • A anel local regular é un dominio de integridade. De feito, un anel local regular é un dominio de factorización única (UFD).[3][4]

Non exemplos

editar

Os seguintes aneis non son dominios de integridade.

  • O anel cero (nese anel  ).
  • O anel cociente   cando m é un número composto. De feito, se escollemos unha factorización adecuada   (onde   e   non son iguais a   ou  ). Temos   e   pero  .
  • O produto de dous aneis conmutativos diferentes de cero. Nun produto como este  , temos  .
  • O anel cociente   para calquera  . As imaxes de   e   son diferentes de cero, mentres que o seu produto é 0 neste anel.
  • O anel de matrices n × n sobre calquera anel non cero cando n ≥ 2. Se   e   son matrices tal que a imaxe de   está contida no kernel de  , entón  . Por exemplo, isto ocorre para  .
  • O anel cociente   para calquera corpo   e calquera polinomio non constante  . As imaxes de f e g neste anel cociente son elementos diferentes de cero cuxo produto é 0. Este argumento mostra, de forma equivalente, que   non é un ideal primo. A interpretación xeométrica deste resultado é que os ceros de fg forman un conxunto alxébrico afín que non é irredutíbel (é dicir, non é un variedade alxébrica) en xeral. O único caso no que este conxunto alxébrico pode ser irredutíbel é cando fg é a potencia dun polinomio irredutíbel, que define o mesmo conxunto alxébrico.
  • O anel de funcións continuas sobre o intervalo unitario. Considere as funcións
     
Nigunha de   e   é cero en todas as partes, pero   si que o é.

Divisibilidade, elementos primos e elementos irredutíbeis

editar

Nesta sección, R é un dominio de integridade.

Dados os elementos a e b de R, dise que a divide a b, ou que a é un divisor de b, ou que b é un múltiplo de a, se existe un elemento x en R tal que ax = b .

As unidades de R son os elementos que dividen a 1; que son precisamente os elementos invertíbeis en R. As unidades dividen todos os demais elementos.

Se a divide a b e b divide a a, entón a e b son elementos asociados.[5] De forma equivalente, a e b son asociados se a = ub para algunha unidade u.

Un elemento irreducíbel é unha non unidade distinta de cero que non se pode escribir como produto de dúas non unidades.

Un p non unitario distinto de cero é un elemento primo se, sempre que p divide un produto ab, entón p divide a ou p divide b. De forma equivalente, un elemento p é primo se e só se o ideal principal (p) é un ideal primo distinto de cero.

Tanto as nocións de elementos irredutíbeis como de elementos primos xeneralizan a definición ordinaria de números primos no anel   se se consideran primos os primos negativos.

Todo elemento primo é irredutíbel. En xeral a inversa non é verdade: por exemplo, no anel de enteiros cadráticos   o elemento 3 é irredutíbel (se factorizase de forma non trivial, cada un dos factores debería ter a norma 3, mais non hai elementos de norma 3 xa que   non ten solucións enteiras), mais non é primo (xa que 3 divide   sen dividir ningún dos factores). Nun dominio de factorización única (UFD) un elemento irredutíbel é un elemento primo.

Aínda que a factorización única non se cumpre en  , si que hai unha factorización única dos ideais. Vexa o teorema de Lasker–Noether.

Propiedades

editar
  • Un anel conmutativo R é un dominio de integridade se e só se o ideal (0) de R é un ideal primo.
  • Se R é un anel conmutativo e P é un ideal en R, entón o anel cociente R/P é un dominio de integridade se e só se P é un ideal primo.
  • Sexa R un dominio de integridade. Entón os aneis polinómicos sobre R (en calquera número de indeterminados) son dominios de integridade. Este é o caso en particular se R é un corpo.
  • A propiedade de cancelación cúmprese en calquera dominio de integridade: para calquera a, b e c nun dominio de integridade, se a0 e ab = ac entón b = c. Outra forma de afirmalo é que a función xax é inxectiva para calquera a distinto de cero no dominio.
  • A propiedade de cancelación cúmprese para os ideais en calquera dominio de integridade: se xI = xJ, entón x é cero ou I = J.
  • Un dominio de integridade é igual á intersección das súas localizacións nos ideais máximos.
  • Un límite indutivo de dominios de integridade é un dominio de integridade.
  • Se A, B son dominios de integridade sobre un corpo alxebraicamente pechado k, entón Ak B é un dominio de integridade. Esta é unha consecuencia do nullstellensatz de Hilbert (teorema dos ceros de Hilbert), e en xeometría alxébrica, implica a afirmación de que o anel de coordenadas do produto de dúas variedades alxébricas afines sobre un corpo alxebricamente pechado é tamén un dominio de integridade.

Corpo de fraccións

editar

O corpo das fraccións K dun dominio de integridade R é o conxunto de fraccións a/b con a e b en R e b ≠ 0 módulo unha relación de equivalencia adecuada, equipada coas operacións habituais de suma e multiplicación.

Xeometría alxébrica

editar

En xeometría alxébrica, un anel de coordenadas dun conxunto alxébrico afín é un dominio de integridade se e só se o conxunto alxébrico é unha variedade alxébrica.

De forma máis xeral, un anel conmutativo é un dominio de integradade se e só se o seu espectro é un esquema afín de integridade.

Característica e homomorfismos

editar

A característica dun dominio de integridade é 0 ou un número primo.

Se R é un dominio integridade da característica prima p, entón o endomorfismo de Frobenius xxp é inxectivo.

Véxase tamén

editar

Bibliografía

editar

Outros artigos

editar

Ligazóns externas

editar