Categoría (matemáticas)
En teoría de categorías, unha categoría é unha estrutura alxébrica que consta dunha colección de obxectos, conectados uns con outros mediante frechas tales que se cumpren as seguintes propiedades básicas: as frechas pódense compor unhas con outras de maneira asociativa, e para cada obxecto existe unha frecha que se comporta como un elemento neutro baixo a composición.
Un exemplo clásico é a categoría de conxuntos, no que os obxectos son conxuntos e as frechas son as funcións, e onde a composición de frechas é a composición usual de funcións. En xeral, os obxectos e as frechas poden ser obxectos abstractos de calquera tipo, e a noción de categoría prové dunha maneira abstracta e fundamental para describir entidades matemáticas e as súas relacións. Esta é a idea central da teoría de categorías, unha rama das matemáticas que busca xeneralizar todas as demais teorías matemáticas en termos de obxectos e frechas. Practicamente calquera rama das matemáticas modernas pódese describir en termos de categorías, e mediante esta descrición é común que se revelen propiedades e similitudes moi profundas entre áreas aparentemente distintas.
Dúas categorías son iguais se teñen a mesma colección de obxectos, a mesma colección de frechas, e a mesma forma asociativa de compor frechas. Dúas categorías tamén se poden considerar equivalentes mesmo se non son precisamente a mesma. Moitas categorías moi cotiás denótanse comunmente cunha abreviación do tipo dos seus obxectos, por exemplo: Con refírese á categoría de conxuntos, Top refírese á categoría de espazos topolóxicos, Ab refírese á categoría de grupos abelianos etc.
Definición
editarHai varias definicións equivalentes dunha categoría.[1] A máis habitual é a seguinte: unha categoría C consta de:
- unha clase ob(C) de obxectos
- para cada par de obxectos A, B en ob(C) un conxunto C(A,B) de frechas ou morfismos de A a B.
- para cada terna de obxectos A, B, C de C unha función ∘:C(A,B)×C(B,C)→C(A,C) onde ∘(f,g) se denota g ∘ f.
Ademais, os seguintes axiomas deben ser certos:
- Asociatividade: para calquera terna de frechas f, g, h cúmprese que h ∘ (g ∘ f)=(h ∘ g) ∘ f, se é que estas composicións están definidas.
- Identidade: para todo obxecto A en ob(C) existe unha frecha en C(A,A) comunmente denotada 1A tal que para toda frecha f en C(A;B) f=1B ∘ f e f=f ∘ 1A.
Destes axiomas pódese deducir facilmente que existe unha única frecha identidade para cada obxecto.
Historia
editarA noción de categoría, e en xeral, as primeiras nocións de teoría de categorías, apareceron por primeira vez en 1945 nun artigo de Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane chamado "General Theory of Natural Equivalences" (Teoría xeral das equivalencias naturais).[2]
Exemplos
editar- A categoría Con é aquela que ten como obxectos todos os conxuntos e se A e B son conxuntos, entón Con(A,B) é o conxunto de funcións con dominio A e codominio B. Esta é a categoría máis comunmente empregada nas matemáticas.
- Calquera clase pode ser vista como unha categoría que so ten como morfismos os morfismos identidade. Chámanse categorías discretas e son o tipo máis simple de categoría.
- Carquer conxunto preordenado (P, ≤) forma unha categoría na que os obxectos son os elementos de P e os morfismos as frechas que van de x a y cando x ≤ y.
- Calquera monoide, grupo e grupoide poden considerarse categorías.
- Un grafo orientado xera unha categoría: os obxectos son os vértices do grafo e os morfismos os camiños do grafo. A composición dos morfismos é a concatenación de camiños.
Construción de novas categorías
editarCategoría dual
editarCalquera categoría C pode ser considerada unha nova categoría cunha forma diferente: os obxectos son os mesmos que na categoría orixinal pero as frechas son as que estaban na categoría orixinal invertidas. Chámase categoría dual ou oposta e denótase Cop.
Categorías produto
editarSe C e D son categorías, pódese construír a categoría produto C × D: os obxectos son pares que consisten nun obxecto de C e outro de D, e os morfismos son tamén pares que consisten nun morfismo de C e outro de D. Estes pares poden tamén comporse.
Notas
editarVéxase tamén
editarBibliografía
editar- Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 21 de abril de 2015. Consultado o 09 de maio de 2017. (now free on-line edition, GNU FDL).
- Asperti, Andrea; Longo, Giuseppe (1991). Categories, Types and Structures (PDF). MIT Press. ISBN 0-262-01125-5..
- Awodey, Steve (2006). Category theory. Oxford logic guides 49. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856861-2..
- Barr, Michael; Wells, Charles (2005). Toposes, Triples and Theories. Reprints in Theory and Applications of Categories 12 (revised ed.). MR 2178101..
- Borceux, Francis (1994). "Handbook of Categorical Algebra". Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 50–52. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06119-9..
- Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007). Category Theory. Heldermann Verlag..
- Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7..
- Lawvere, William; Schanuel, Steve (1997). Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-47249-0..
- Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8..
- Marquis, Jean-Pierre (2006). "Category Theory". En Zalta, Edward N. Stanford Encyclopedia of Philosophy..
- Sica, Giandomenico (2006). What is category theory?. Advanced studies in mathematics and logic 3. Polimetrica. ISBN 978-88-7699-031-1..