Función bixectiva

Unha bixección, función bixectiva ou correspondencia un a un entre dous conxuntos matemáticos é unha función tal que cada elemento do segundo conxunto (o codominio) é a imaxe de exactamente un elemento do primeiro conxunto (o dominio). De forma equivalente, unha bixección é unha relación entre dous conxuntos de tal xeito que cada elemento de calquera conxunto está emparellado exactamente cun elemento do outro conxunto.

Unha función é bixectiva se e só se é invertíbel; é dicir, unha función $f:X\to Y$ é bixectiva se e só se hai unha función $g:Y\to X,$ a inversa de $f$ , tal que cada unha das dúas formas de compoñer as dúas funcións produce unha función identidade: $g(f(x))=x$ para cada $x$ en $X$ e $f(g(y))=y$ para cada $y$ en $Y.$

Por exemplo, a multiplicación por dous define unha bixección dos enteiros nos números pares, que ten a división por dous como función inversa.

Unha función é bixectiva se e só se é tanto inxectiva (ou un a un), o que significa que cada elemento do codominio está asignado como máximo a un elemento do dominio, e sobrexectiva (ou onto en inglés), o que significa que cada elemento do codominio está mapeado cara a polo menos un elemento do dominio. O termo correspondencia un a un non debe confundirse coa función un a un, que significa inxectiva mais non necesariamente sobrexectiva.

Unha función bixectiva dun conxunto en si mesmo tamén se denomina permutación,^[1] e o conxunto de todas as permutacións dun conxunto forma o seu grupo simétrico.

Definición

Unha bixección de $E$ en $F$ é unha relación binaria $R$ de $E$ en $F$ que é unha aplicación e da cal a relación inversa $R^{-1}$ tamén é unha aplicación. Máis en detalle, $R$ debe ter as catro propiedades seguintes:

Funcionalidade: calquera elemento de $E$ ten como máximo unha imaxe por $R$ , é dicir,

\forall x\in E,\ \forall y,y'\in F,\quad [(xRy{\text{ e }}xRy')\Rightarrow y=y']

;

Aplicatividade: calquera elemento de $E$ ten polo menos unha imaxe por $R$ , é dicir,

\forall x\in E,\ \exists y\in F,\quad xRy

;

Inxectividade: calquera elemento de $F$ ten como máximo un antecedente por $R$ , é dicir,

\forall x,x'\in E,\ \forall y\in F,\quad [(xRy{\text{ e }}x'Ry)\Rightarrow x=x']

Sobrexectividade: cada elemento de $F$ ten polo menos un antecedente por $R$ , é dicir,

\forall y\in F,\ \exists x\in E,\quad xRy

.

A inxectividade de $R$ é equivalente á funcionalidade de $R^{-1}$ e a sobrexectividade de $R$ é equivalente á aplicatividade de $R^{-1}$ .

É habitual representar unha relación binaria funcional $R$ por unha función $f$ , e así temos

\forall x\in E,\ \forall y\in F,\quad f(x)=y\Longleftrightarrow xRy

.

de todo o anterior dedúcese que se $R$ é unha relación bixectiva, entón $R^{-1}$ tamén o é.

Exemplos e contraexemplos

A función linear $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definida por $f (x) = 2 x + 1$ é bixectiva, xa que para cada $y$ real, existe exactamente unha solución real da ecuación $y = 2 x + 1$ de incógnita $x$ , a saber: $x = (y - 1)/2$ .
A función cadrado $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definida por $g (x) = x 2$ é non bixectiva, por dúas razóns. O primeiro é que temos (por exemplo) $g (1) = 1 = g (-1)$ e, polo tanto, $g$ non é inxectiva; a segunda é que non hai (por exemplo) un $x$ real tal que $x 2 = -1$ e, polo tanto, $g$ tampouco non é sobrexectiva. Unha ou outra destas observacións é abondo para afirmar que $g$ non é bixectiva.
Por outra banda, a aplicación $\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+},\,x\mapsto x^{2}$ é bixectiva. A explicación é que para cada $y$ real positivo, existe exactamente unha solución real positiva da ecuación $y = x 2$ , que é $x = \sqrt y$ . A función raíz cadrada é polo tanto a bixección inversa da función cadrada nestes conxuntos.
Do mesmo xeito, a función seno, vista como unha aplicación de $\mathbb {R}$ en $\mathbb {R}$ , non é nin inxectiva nin sobrexectiva, polo tanto non é bixectiva;
- a súa correstrición $\sin :\mathbb {R} \to [-1,1]$ é sobrexectiva mais non inxectiva (por exemplo, $0$ e $\pi$ teñen a mesma imaxe) polo tanto non é bixectiva;
- a súa restrición $\sin :[-{\pi /2},{\pi /2}]\to \mathbb {R}$ é inxectiva mais non sobrexectiva (por exemplo, $2$ non é a imaxe de ningún valor) polo tanto non é bixectiva;
- a súa restrición-correstrición $\sin :[-{\pi /2},{\pi /2}]\to [-1,1]$ é bixectiva (como tamén unha infinidade doutras das súas restricións-correstricións);
- a súa bixección inversa é logo $arcsin$ : $[-1,1]\to [-{\pi /2},{\pi /2}]$ ;
- porén, a función arcoseno que toma os mesmos valores, mais vista como un mapa de $[-1,1]$ en $\mathbb {R}$ , é inxectiva amis non sobrexectiva (por exemplo , $\pi$ non é a imaxe de ningún valor) polo tanto non é bixectiva.
A función sigmoide $f:\mathbb {R} \to ]0,1[$ definida por $f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}$ é bixectiva e úsase a miúdo en informática, particularmente en redes neuronais.

Composición

Unha bixección composta por unha inxección (X → Y) e unha sobrexección (Y → Z).

A composición $g\,\circ \,f$ de dúas bixeccións f : X → Y e g : Y → Z é unha bixección, cuxa inversa vén dada por $g\,\circ \,f$ é $(g\,\circ \,f)^{-1}\;=\;(f^{-1})\,\circ \,(g^{-1})$ .

Viceversa, se a composición $g\,\circ \,f$ de dúas funcións é bixectiva, dedúcese que f é inxectiva e g é sobrexectiva.

Cardinalidade

Se X e Y son conxuntos finitos, entón existe unha bixección entre os dous conxuntos X e Y se e só se X e Y teñen o mesmo número de elementos. De feito, na teoría axiomática de conxuntos, esta é a definición de "mesmo número de elementos" (equinumerosidade), e xeneralizar esta definición a conxuntos infinitos leva ao concepto de número cardinal, unha forma de distinguir os diversos tamaños de conxuntos infinitos.

Propiedades

As bixeccións son os isomorfismos da categoría de conxuntos.
Sexa $f:E\to F$ e $h:F\to G$ .
- Se $f$ e $h$ son bixectivas, entón $h\circ f$ é bixectiva e $(h\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ h^{-1}$ .
- Se $h\circ f$ é bixectiva, entón $f$ é inxectiva e $h$ é sobrexectiva.
Para calquera conxunto E, as bixeccións de E sobre si mesmas chámanse permutacións de E. Forman, coa operación ∘ de composición de aplicacións, un grupo chamado grupo simétrico de E e denotado S(E) ou ${\mathfrak {S}}(E)$ .
O número de bixeccións entre dous conxuntos finitos do mesmo cardinal n é n!.
Un mapa de ℝ en ℝ é bixectivo se e só se a súa gráfico corta calquera liña horizontal exactamente nun punto.
Para que unha aplicación dun conxunto finito en si mesmo sexa bixectiva, abonda con que sexa inxectiva ou sobrexectiva (daquela son ambas as dúas). Pódese ver como unha consecuencia do principio do pombal.
Note: pode existir unha bixección entre dous conxuntos infinitos estando un deles estritamente incluído no outro. Atopamos moitos exemplos no caso contábel.