Unité d'angle

Une unité d'angle est une unité de mesure permettant d'exprimer la valeur de l'angle formé par deux droites (angle plan) ou deux plans (angle dièdre)^[a].

Unités du Système international

L'unité d'angle du Système international est le radian (symbole : rad), défini comme l'angle sous-tendant, depuis le centre d'un cercle, un arc de même longueur que son rayon.

On utilise un peu le milliradian (1 mrad = 10⁻³ rad) et le microradian (1 µrad = 10⁻⁶ rad), et très peu ses autres multiples et sous-multiples.

Les principales unités d'angle utilisées couramment, outre le radian, sont l'angle plein et ses subdivisions :

l'angle plein (ou « tour ») est l'angle sous-tendant, dans un cercle, toute sa circonférence ;
- l'angle plat (ou demi-tour) est une moitié d'angle plein,
- l'angle droit (ou quart de tour, ou quadrant) un quart,
- le sextant un sixième,
- et l'octant un huitième ;
le degré d'angle (ou d'arc) ou simplement degré (symbole^[b] : °) est défini comme la trois-cent-soixantième partie d'un angle plein (1/360 tour). On n'utilise pas les multiples et sous-multiples décimaux du degré, mais en astronomie et en navigation on utilise deux de ses sous-multiples sexagésimaux :
- la minute d'angle (ou d'arc) ou simplement minute (symbole^[b] : '), égale à un soixantième de degré,
- la seconde d'angle (ou d'arc) ou simplement seconde (symbole^[b] : "), égale à un soixantième de minute,
- et, en astronomie, les sous-multiples décimaux de la seconde d'arc ;
le grade ou gon (symbole : gon depuis 1982, gr auparavant) est défini comme un centième d'angle droit ( $1 / 400$ tour).

Dans l'artillerie on utilise le mil (ou mil angulaire, millième angulaire, pour mille d'artillerie), de symbole ₥, qui vaut environ un milliradian (10⁻³ rad) mais dont la définition exacte diffère selon les pays.
En astronomie on exprime l'ascension droite en heures, minutes et secondes (symboles^[b] : ^h, ^m et ^s) : 1^h = 15° (donc 24^h = 360°), 1^h = 60^m, 1^m = 60^s. Il ne faut bien sûr pas confondre les minutes et secondes d’ascension droite avec les minutes et secondes d'angle (ou d'arc).
En lunetterie on utilise pour la puissance $P$ des prismes la dioptrie prismatique (symbole : Δ), reliée à l'angle de déviation $δ$ par la formule $P=100\,\tan \delta \$ ( $P$ en Δ, $δ$ en radians).
Dans la navigation maritime on utilise le quart de vent ou rhumb, égal à un quart d'octant, soit $1 / 32$ tour, $π / 16$ rad ou 11° 15'.

L'ancienne astronomie chinoise emploie comme unités d'angle :
- le zhang, le chi (un dixième de zhang) et le cun (un dixième de chi), sans qu'on connaisse exactement leurs valeurs dans les unités contemporaines (le chi pourrait être proche du degré) ;
- le du, déplacement moyen du Soleil sur la sphère céleste en 24 heures. Il vaut donc en moyenne $360 / 365,25$ degré, soit 0,9856°.
Les mathématiques et l'astronomie mésopotamiennes (et à leur suite Hipparque) utilisent :
- le degré, la minute et la seconde d'angle (ou d'arc), mais aussi dans leurs calculs les sous-multiples sexagésimaux suivants, notamment la tierce (un soixantième de seconde) et la quarte (un soixantième de tierce) ;
- le pechus ou coudée astronomique, arc défini par Hipparque comme le 1/180^ème du cercle, soit 2 degrés.

↑ La valeur d'un angle solide, en revanche, s'exprime à l'aide d'autres unités, typiquement le stéradian.
↑ ^{a b c et d} Contrairement aux autres unités de mesure (y compris les autres degrés utilisés en physique et en chimie), le symbole du degré d'angle suit immédiatement la valeur, sans espace. On écrira par exemple qu'un angle vaut 30°, mais une température 30 °C. Il en est de même pour les symboles de la minute d'arc et de la seconde d'arc (on écrira par exemple qu'un angle vaut 29° 59' 30") ainsi que pour l'heure, la minute et la seconde d'ascension droite (on écrira par exemple qu'une ascension droite vaut 11^h 01^m 50,5^s).